🔦 Odwzorowanie Ikedy — chaos we wnęce optycznej nieliniowej

Odwzorowanie Ikedy to dyskretny w czasie model światła odbijającego się wewnątrz nieliniowej pierścieniowej wnęki optycznej. Kensuke Ikeda wprowadził leżącą u podstaw fizykę w 1979 roku, by opisać bistabilność optyczną we wnęce zawierającej medium nieliniowe typu Kerra; Ikeda, Daido i Akimoto wyprowadzili następnie uproszczone dwuwymiarowe rzeczywiste odwzorowanie używane w większości symulacji, w tym w tej, w 1980 roku.

A to amplituda zewnętrznego pola laserowego wstrzykiwanego do wnęki. B to dyssypacja obiegu — frakcja amplitudy pola, która przetrwa jeden przebieg przez wnękę i jej zwierciadło wyjściowe, więc B < 1 zawsze usuwa energię. k to stałe liniowe przesunięcie fazowe akumulowane na obieg. p ustala siłę nieliniowego (Kerra) przesunięcia fazowego, zależnego od lokalnej intensywności x_n² + y_n².

Każda iteracja obraca punkt o kąt t_n zależny od jego odległości od początku układu, a następnie przeskalowuje go czynnikiem dyssypacji B i przesuwa z powrotem w okolice A. Punkty dalekie od początku doświadczają większego nieliniowego przesunięcia fazowego niż punkty bliskie, więc kąt obrotu zmienia się w sposób ciągły wraz z promieniem. Powtarzanie tego zależnego od promienia obrotu tysiące razy zwija sąsiednie punkty w coraz ciaśniejsze ramiona spirali.

W przeciwieństwie do zachowujących obszar odwzorowań chaotycznych, takich jak odwzorowanie standardowe, odwzorowanie Ikedy jest dyssypatywne, gdy B < 1: każda iteracja kurczy obszary w przestrzeni fazowej o czynnik B² średnio. Ta dyssypacja jest niezbędna — pozwala nieskończonej spirali iteracji zapaść się na dziwny atraktor o skończonym obszarze zamiast wypełniać całą płaszczyznę.

Zmniejszenie p osłabia nieliniowy człon fazowy p/(1 + x² + y²), więc kąt obrotu t_n zmienia się znacznie mniej w obrębie atraktora, a skręcanie budujące spiralę jest w dużej mierze wyłączone. W tym reżimie większość lub wszystkie zasiane warunki początkowe zbiegają do pojedynczego punktu stałego lub krótkiego cyklu periodycznego zamiast rozproszonej spirali.

Gdy p zbliża się i przekracza klasyczną wartość 6 (przy B bliskim 0,9), nieliniowe przesunięcie fazowe staje się na tyle silne, że sąsiednie trajektorie są wielokrotnie rozciągane i zaginane — dwa składniki potrzebne do chaosu. Wynikiem jest w pełni rozwinięty spiralny dziwny atraktor: nieskończona, samopodobna struktura o fraktalnym przekroju.

Tak. Fizyka stojąca za odwzorowaniem — zależny od intensywności współczynnik załamania (optyczny efekt Kerra) połączony ze sprzężeniem zwrotnym wnęki — jest dokładnie mechanizmem stojącym za bistabilnością optyczną, niestabilnościami samopulsacyjnymi i chaotyczną intensywnością wyjściową obserwowaną w rzeczywistych eksperymentach z nieliniowymi wnękami pierścieniowymi i laserami od końca lat 70. i 80.

W reżimie chaotycznym tak — dwa punkty początkowe startujące niezwykle blisko siebie kończą w bardzo różnych częściach spirali po wystarczającej liczbie iteracji, co jest znakiem rozpoznawczym deterministycznego chaosu. Ta symulacja pokazuje to pośrednio: zasianie setek bliskich warunków początkowych i iterowanie ich wszystkich razem powoduje, że początkowo ciasny rozrzut rozprasza się i wyznacza pełny atraktor.

Pojedyncza trajektoria iterowana przez wiele kroków ostatecznie wyznacza ten sam atraktor, ponieważ odwzorowanie jest na nim ergodyczne, ale zajmuje to wiele iteracji, by wypełnić się wizualnie. Zasianie rozrzutu kilkuset do kilku tysięcy punktów początkowych i iterowanie ich wszystkich równolegle przez kilkaset kroków każdy ujawnia ogólny kształt atraktora znacznie szybciej.