Analiza Fouriera
Joseph Fourier pokazał w 1822 roku, że każdą funkcję okresową można rozłożyć na sumę sinusów i cosinusów. Nowoczesna szybka transformata Fouriera (FFT) oblicza ten rozkład w czasie O(N log N) — umożliwiając korekcję audio w czasie rzeczywistym, kompresję obrazu i komunikację bezprzewodową.
Szereg Fouriera
Buduj fale prostokątne, trójkątne i piłokształtne, dodając harmoniczne jedna po drugiej. Obserwuj zjawisko Gibbsa (9% przeregulowania na nieciągłościach) pojawiające się wraz z dodawaniem kolejnych składników.
Analizator widma FFT
Widmo na żywo z mikrofonu lub sygnałów syntetycznych. FFT Cooleya-Tukeya z podstawą 2 i oknem Hanna — porównaj widmo amplitudowe z gęstością widmową mocy.
Dyskretna transformata Fouriera i FFT Cooleya-Tukeya
DFT: X[k] = Σ_{n=0}^{N-1} x[n] · e^{−j2πkn/N} O(N²)
FFT: motyl Cooleya-Tukeya z podstawą 2 → O(N log₂ N)
Nyquist: f_próbkowania ≥ 2 · f_max, aby uniknąć aliasingu
Parseval: Σ|x[n]|² = (1/N) Σ|X[k]|² (energia zachowana)
Filtry cyfrowe
Filtr cyfrowy kształtuje zawartość częstotliwościową sygnału próbkowanego. Filtry FIR (o skończonej odpowiedzi impulsowej) mają fazę liniową i gwarantowaną stabilność; filtry IIR (o nieskończonej odpowiedzi impulsowej) osiągają stromsze zbocze przy mniejszej liczbie współczynników kosztem potencjalnej niestabilności i zniekształceń fazy.
Projektant filtrów cyfrowych
Projektuj filtry dolnoprzepustowe, górnoprzepustowe, pasmowoprzepustowe i pasmowozaporowe. Wybierz FIR (okno sinc, Parks-McClellan) lub IIR (Butterworth, Czebyszew). Wyświetl odpowiedź impulsową, skokową i wykres Bodego.
Filtr RC (analogowy)
Filtry RC pierwszego rzędu dolno- i górnoprzepustowe. Stała czasowa τ=RC, −3 dB przy f_c=1/(2πRC). Amplituda i faza Bodego, odpowiedź na skok jednostkowy — pomost do teorii filtrów cyfrowych.
Modulacja i łączność bezprzewodowa
Modulacja koduje informację na fali nośnej, aby mogła efektywnie przemieszczać się przez kanał. AM i FM to standardy analogowe; OFDM jest podstawą sieci 4G/5G, WiFi i telewizji cyfrowej — dzieląc widmo na setki wąskich, ortogonalnych podnośnych, aby pokonać zanikanie wielodrogowe.
Modulacja AM i FM
Modulacja amplitudy i częstotliwości obok siebie. Zmień wskaźnik modulacji m (AM) lub dewiację Δf (FM) i porównaj szerokość pasma, regułę Carsona i SNR demodulacji.
OFDM (ortogonalny FDM)
N podnośnych rozstawionych o Δf=1/T — warunek ortogonalności. Zwizualizuj prefiks cykliczny, przedziały ochronne, wyrównanie kanału i problem PAPR nękający 5G.
Obwody i zjawiska falowe
Rezonans RLC
Obwody RLC szeregowe i równoległe — częstotliwość rezonansowa ω₀=1/√(LC), dobroć Q=ω₀L/R. Przestrajaj przez rezonans i obserwuj spadek impedancji, szczyt prądu, odwrócenie fazy.
Efekt Dopplera
Poruszające się źródło i obserwator — f_obs = f_s(v±v_obs)/(v∓v_src). Zwizualizuj kompresję czoła fali z przodu i rozszerzenie z tyłu, stożek Macha i relatywistyczne przesunięcie Dopplera.
Dlaczego OFDM pokonuje modulację jednonośną w kanałach wielodrogowych? W kanale wielodrogowym (odbicia od ścian, wzgórz) każda droga dociera z innym opóźnieniem, rozmazując symbol jednonośny na sąsiednie symbole (ISI). OFDM dzieli pasmo na wąskie podnośne, gdzie czas trwania symbolu każdej podnośnej jest dużo dłuższy niż rozrzut opóźnień kanału — ISI wpływa tylko na prefiks cykliczny, nie na ładunek danych, a pojedyncze mnożenie zespolone na podnośną koryguje cały kanał.
Ścieżki nauki
Ścieżka podstawowa
- Szereg Fouriera
- Analizator widma FFT
- Filtr RC (analogowy)
- Projektant filtrów cyfrowych
Ścieżka telekomunikacyjna
- Modulacja AM i FM
- OFDM
- Rezonans RLC
- Efekt Dopplera