🔌 Rezonans obwodu RLC

W trybie Drgania swobodne kondensator zaczyna z niewielkim ładunkiem, a obwód wygasza się naturalnie bez źródła, więc widzisz zanikające przebiegi Q(t) i I(t). W trybie Wymuszony (AC) przyłożone jest sinusoidalne źródło napięcia; możesz przemiatać jego częstotliwość, aby zobaczyć, jak amplituda w stanie ustalonym narasta w miarę zbliżania się do ω₀.

Reżim tłumienia zależy od znaku wyrażenia R² − 4L/C. Gdy jest ujemne, obwód jest podkrytycznie tłumiony i oscyluje; blisko zera jest tłumiony krytycznie i wraca do spoczynku najszybciej, jak to możliwe, bez przeregulowania; wartość dodatnia oznacza tłumienie nadkrytyczne, powolne ustalanie się bez oscylacji. Odczyt tłumienia koloruje te przypadki różnie.

Wykorzystuje klasyczną metodę Runge-Kutty czwartego rzędu (RK4) do całkowania sprzężonych równań dQ/dt = I oraz dI/dt = (V_s − Q/C − RI)/L. RK4 jest znacznie dokładniejsza niż prosty krok Eulera, więc energia i częstotliwość oscylacji pozostają wierne nawet po wielu cyklach przy kroku czasowym 1 ms.

Równanie różniczkowe jest dokładnym modelem idealnych elementów dla szeregowej pętli RLC, a całkowanie RK4 wprowadza jedynie znikomy błąd numeryczny. Zakłada liniowe, bezstratne cewki i kondensatory oraz czysto rezystancyjne R, pomijając rzeczywiste efekty, takie jak nasycenie rdzenia, straty dielektryczne i pojemność pasożytnicza. Do nauczania podstawowej fizyki jest wysoce dokładny.

Obniżenie rezystancji zwiększa dobroć Q i wydłuża czas zaniku τ = 2L/R. Oscylacje utrzymują się przez znacznie więcej cykli, a pik rezonansowy na wykresie impedancji staje się ostrzejszy i głębszy. Zwiększenie R działa odwrotnie, poszerzając pik i szybko tłumiąc wygasanie.

Impedancja to całkowity opór dla prądu przemiennego, dany wzorem Z(ω) = √(R² + (ωL − 1/ωC)²). Wykres pokazuje ją w zakresie około dwóch dekad częstotliwości na osi logarytmicznej. Jest duża przy bardzo niskich i bardzo wysokich częstotliwościach, a osiąga minimalną wartość R dokładnie przy rezonansie.

Prąd jest pochodną czasową ładunku, I = dQ/dt, więc oba przebiegi są przesunięte w fazie o dziewięćdziesiąt stopni: prąd osiąga maksimum, gdy ładunek przechodzi przez zero, i odwrotnie. Ta relacja kwadraturowa jest elektrycznym sygnałem przepływu energii między polem elektrycznym kondensatora a polem magnetycznym cewki.

Są wszędzie w elektronice: tunery radiowe i telewizyjne wybierają stację, dopasowując rezonans RLC do częstotliwości nośnej, a filtry pasmowoprzepustowe i pasmowozaporowe kształtują częstotliwości audio i sygnałowe. Wysokodobrociowe oscylatory kwarcowe i LC zapewniają precyzyjne zegary wewnątrz komputerów, odbiorników GPS i zegarów atomowych.