Transformacja wellekowa — język czasu i częstotliwości

Brak widoczności w transformacji Fouriera

Transformacja Fouriera pokazuje, jakie częstotliwości zawiera sygnał, ale nie informuje o ich czasie wystąpienia — symfonia i przypadkowo zaszyfrowana wersja tych samych nut dzielą się identycznymi spektrami magnitud Fouriera. Próba naprawy tej braku transformacja czworotowa próbuje poprzez okno przesuwające, ale rozmiar tego okna jest zawsze stały: krótkie okno daje dobrą rozdzielczość czasową, a długie — odwrotnie, przy każdym częstotliwościowym zakresie. To prawdziwa granica, nie brak inżynieryjny — dla dowolnego sygnału różnice w czasie Δt i rozrzut częstotliwościowy Δω spełniają nierówność Δt·Δω ≥ 1/2, tą sama relację niepewności, która rządzi mechaniką kwantową.

Wellekty: okno dostosowujące się do częstotliwości

Funkcja wellekta ψ(t) jest krótką oscylującą funkcją o średniej równoległej do zera i jednostkowej energii. Z jednej macierzystej wellekty całe rodziny potomnych wellektów tworzy się poprzez skalowanie i przesuwanie: ψ_{a,b}(t) = (1/√|a|)·ψ((t−b)/a). Duże wartości a rozciągają wellekt, aby analizować niskie częstotliwości; małe wartości a zaciskają go, aby analizować wysokie częstotliwości — okno automatycznie się zaznaczona do miejsca, gdzie potrzebna jest dokładna rozdzielczość czasowa. Kontinuowana transformata wellekta koreluje sygnał z każdym potomnym wellektą, tworząc mapę czasowo-skaliową nazywaną scalogram.

Haar wavelet:  ψ(t) = +1 on [0, 0.5), −1 on [0.5, 1), 0 elsewhere
Haar transform of [4, 6, 2, 8]:
  averages    = [5, 5]  →  [5]
  differences = [−1, −3] →  [0]
  Haar coefficients: [5 | 0 | −1, −3]

Haar, Daubechies i analiza wielokrotnego rozdzielczości

Wavedelta Haara (Alfred Haar, 1909) jest najprostszą orthonormalną waweltem: podzielić sygnał na średnie i różnice paryowe rekurencyjnie, w czasie O(N) z dokładnym arytmetycznym całkowitym — ale ma tylko jeden moment zerowy, co powoduje artefakty w postaci blokowych

%22schodków%22

Od JPEG2000 do falownikowych wibracji grawitacyjnych

JPEG2000 zastąpił blokowy transformator DCT 8×8 używanym w JPEG na pipeline falownikowe: dwuwymiarową dyskretną transformację falownikową na pięć poziomów, quantyzację, a następnie kodowanie entropii EBCOT do strumienia bitowego wbudowanego, gdzie każdy prefiks jest już poprawnym obrazem niższej jakości. Tryb bezstratny używa filtra całkowitego CDF 5/3; tryb z stratami używa biortogonalnego filtra CDF 9/7 (Daubechies). Wynik — brak artefaktów blokowych, transmisja progressywna i kodowanie obszaru zainteresowania — uczynił JPEG2000 obowiązkowym dla kin cyfrowych i standardu DICOM w zakresieimageni medycznych. Falownikowe transformacje rozszerzyły się dalej poza obrazy: LIGO używa transformacji Q-falownikowej do wyodrębniania sygnałów chripów zderzeń czarnej dziury z noisowego danych nacisku, sismologowie używają transformacji CWT Morleta do rozdzielenia fal P i S, a neurokibernetycy wyodrębniają rytmiczne rytmy mózgowy z EEG za pomocą ciągłych transformacji falownikowych.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Wavelet Transform — Haar & Daubechies i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.