Interferencja Pakietu Ondygowego: Zderzanie Kwantowych Amplitud Wewnątrz Przestrzeni

Cząstka opisana rozmytą sygnałem, nie punktem

W mechanice kwantowej lokalizowana cząstka jest przedstawiana pakietem wodnorodzonym: superpozycją wielu płaskich fal o różnych chwilach pędów, ważonych tak, że interferują konstruktywnie w jednej dziedzinie przestrzeni i anulują się wszędzie indziej. Najprostsza użyteczna forma to pakiet gaussowski, który ma zdefiniowany centralny położenie i chwilę pędów, rozszerzone o niepewności Δx i Δk, które są powiązane relacją Heisenberga Δx·Δk ≥ ½:

ψ(x, 0) = (2πσ²)^(−1/4) · exp(−(x−x₀)² / 4σ²) · exp(i k₀ x)

σ  = initial spatial width
k₀ = central wavenumber (momentum p₀ = ℏk₀)

Evolucja w czasie: równanie Schrödingera i rozproszenie

Współcześnień wolnego (lub zatopionego) cząsteczki podlegają równaniu zależnemu od czasu Schrödingera, iℏ ∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m) ∂²ψ/∂x². Nie jest to taka sama sytuacja jak dla klasycznego wabru na nici, którego kształt pozostaje niezmieniony podczas jego przemieszczania się. Współcześnień pakietu falowego kwantowego rozszerza się podczas poruszania się, ponieważ jest on zbudowany z zakresu różnych składowych chwilowości (rozkład Fouriera w postaci fal płaskich) i różne chwileość przewodzą różne prędkości fazowe — to rozszerzanie, a nie frictions lub jakiejkolwiek proces dissipatywny, jest przyczyną wzrostu szerokości pakietu falowego w czasie nawet w idealnie pustym i bez strat kontenerze.

Metoda operatora podzielonego: jak symulacja przemieszcza się dalej

Równanie Schrödingera łączy wyrażenie najprostsze w przestrzeni pozycji (energia potencjalna) z wyrażeniem najprostszym w przestrzeni chwilowości (kinetyczna energia, druga pochodna), a żaden szybki aktualizator nie może zarządzać oboma bezpośrednio. Standardowy numeryczny trik, metoda operatora podzielonego (lub split-step Fourier), stosuje każdy z półoperatorów tam, gdzie jest tanio, i przełączając się między reprezentacjami za pomocą Fast Fourier Transform:

ψ(x, t+dt) = exp(−iV(x)dt/2ℏ) · IFFT[ exp(−iℏk²dt/2m) · FFT[ exp(−iV(x)dt/2ℏ) · ψ(x,t) ] ] 1. półkrok potencjału w przestrzeni pozycji (proste mnożenie punktowe) 2. transformacja Fouriera do przestrzeni chwilowości 3. pełny krok kinetycznej ewolucji w przestrzeni chwilowości (drugie proste mnożenie punktowe — dokładne, nie przybliżone) 4. odwrotna transformacja Fouriera do przestrzeni pozycji 5. półkrok potencjału w przestrzeni pozycji Podział potencjału na dwa półkroki wokół jednego pełnego kroku kinetycznego (symetrycznego, drugiego rzędu podziału Stranga) sprawia, że schemat jest dokładny do O(dt³) na każdy krok zamiast O(dt²), co stanowi znaczące ulepszenie dla tej samej koszty obliczeniowego. Ponieważ term kinetyczny jest stosowany dokładnie w przestrzeni chwilowości, a nie za pomocą różnic skończonych, metoda zachowuje prawdopodobieństwo (całkowitą |ψ|²) znacznie lepiej niż prosta schemat różnic skończonych o tej samej wielkości kroku.

ψ(x, t+dt) = exp(−iV(x)dt/2ℏ) · IFFT[ exp(−iℏk²dt/2m) · FFT[ exp(−iV(x)dt/2ℏ) · ψ(x,t) ] ]

1. half-step potential kick in position space   (a simple pointwise multiply)
2. FFT to momentum space
3. full-step kinetic evolution in momentum space (another pointwise multiply — exact, not approximate)
4. IFFT back to position space
5. half-step potential kick in position space

Interferencja gdy dwa pakiety falowe spotykają się

Gdy dwa pakiet falewe o różnych centralnych chwilach chwili k₁ i k₂ nadmiernie lądują w tej samej części przestrzeni, funkcja welleca całkowita jest ich sumą, a gęstość prawdopodobieństwa |ψ₁+ψ₂|² nie jest prostej sumą dwóch osobnych gęstości — zawiera ona termin krzyżowy 2·Re(ψ₁*ψ₂), który oscyluje w przestrzeni z częstotliwością określona przez różnicę chwil chwili k₁ − k₂, tworząc widoczne frony interferencyjne dokładnie takie jak klasyczny wzór dwu-slota, z tą różnicą, że tu dwa „źródła” to dwa lokalizowane pakiet falewe zamiast dwa slota. Gdzie wzór fronter jest konstruktywny, prawdopodobieństwo sumaryczne znalezienia cząstki jest zwiększone nadto w stosunku do tego, co przewiduje każdy pakiet samotnie; gdzie jest destruktynny, to jest ograniczone — bezpośrednia i widoczna demonstracja faktu, że amplitudy prawdopodobieństwa kwantowych interferują, podczas gdy prawdopodobieństwa klasyczne prostej się dodają.

Czepianie się i odtwarzanie w ograniczonej przestrzeni

Zakłócony w granicach skończonego 1-D boxa, dokładne eigenstany energii są dyskretnymi falowymi stojącymi, a dowolny pakiet fali jest rzeczywiście superpozycją skończonej kombinacji tych dyskretnych poziomów energii. Dwa dominujące składowe o bliskich ale nierównych energiach E₁, E₂ powodują czepianie się kwantowe — wolne oscylacje kształtu lub pozycji pakietu w tempie |E₁−E₂|/ℏ, podobne bezpośrednio do częstotliwości czepania słyszanego z dwóch nieco odmiennych nut muzycznych. Ponieważ poziomy energii boxa są dyskretnymi (w przeciwieństwie do ciągłej spektrum wolnego cząsteczkowego), rozprzestrzenianie się pakietu nie jest trwałe: w długich czasach various relacje fazowe między składowymi energii mogą ponownie zrównać się blisko, co powoduje odtwarzanie pierwotnego lokalizowanego kształtu, fenomen nazywany odtwarzaniem pakietu falowego, teoretycznie przewidzianym i później obserwowanym bezpośrednio w doświadczeniach nad atomami Rydbergowymi.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Wave Packet Interference i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.