Grupy symetrii tapetowe: 17 sposobów na nieskończone powtarzanie wzoru

17 sposobów na nieskończone powtarzanie wzoru, ani więcej, ani mniej

Grupa symetryczna tapetowa klasyfikuje powtarzający się wzór 2D według operacji symetrii, które mapują go na siebie: przesunięcia (przesuwanie), rotacje, symetrie osiowe (zwane też lustrzane) i symetrie z przerzutem (kombinacja lustrzania z przesunięciem wzdłuż linii lustrzanej). W 1891 roku rosyjski krystalograf Evgraf Fedorow dowiódł, że mimo widocznej nieskończoności possible powtarzalnych wzorów, każdy z nich należy dokładnie do jednego z 17 różnych grup symetrii — nie 16, nie 18. Ta symulacja renderuje dziewięć z nich, tylkotlezyając jeden wolaosymetryczny motyw za pomocą konkretnych operacji symetrii, które każda grupa pozwala, dlatego regularność wzoru wynika całościowo z symetrii, a nie z ukrytej symetrii motywu samego siebie.

Dlaczego używanie asymetrycznego wzoru ma znaczenie

Jeśli jednostka powtarzająca już posiada symetrię wzdłuż osi, wzór wyprodukowany z niej może wyglądać tak, jakby miał więcej operacji symetrii niż garantiuje podstawowa grupa, ukrywając klasyfikację. Używanie motywu bez własnej simetrii — niesymetrycznej formy podobnej do przecinka lub flagi — jest tradycyjne w podręcznikach z kristalografii — sprawia, że każda symetria widoczna w końcowym wzorcowaniu jest tylko wynikiem operacji grupy tapetowej. To dlatego każdy z dziewięciu grup tutaj wygląda inaczej, mimo że wszystkie powtarzają taki sam pojedynczy motyw.

Cztery operacje i sposób ich połączenia

przesunięcie o stały wektor — każda grupa tapetowa ma dwa niezależne obrót — obrót o 360°/n wokół ustalonego punktu (n = 2, 3, 4 lub 6 tylko — zobacz poniżej) wzmacnianie — symetria względem osi odbicia dwuglina — symetria względem osi odbicia, NASTĘPNEGO przesunięcie wzdłuż tej samej osi Każda grupa tapetowa wymaga dwóch niezależnych przesunić, aby wypełnić płaszczyznę (to jest, co sprawia, że to jest grupą tapetową a nie grupą brzegową lub fryzjerką, która powtarza się tylko w jednym kierunku). Grupa p1 ma tylko przesunięcia — bez obrotów, bez odbić, najprostszą możliwą symetrię. Grupy typu pm i pg dodają pojedyncze odbicie lub pojedyncze dwuglina na topie przesunić. Gęstsze grupy, takie jak p4m lub p6m, stosują centra obrotów, linie odbicia i osi dwuglinii jednocześnie, z striktowanymi geometrycznymi ograniczeniami na to, gdzie każdy typ elementu symetrycznego może siedzieć w stosunku do innych.

translation        slide by a fixed vector — every wallpaper group has 2 independent ones
rotation           turn by 360°/n about a fixed point (n = 2, 3, 4 or 6 only — see below)
reflection         mirror across a fixed line
glide reflection   mirror across a line, THEN slide along that same line

Ograniczenie krystalograficzne: dlaczego n = 5 jest niedozwolone

Znaczące ograniczenie ogranicza symetrię obrotową w dowolnym wzorze z dwiema niezależnymi translacjami tylko do rzędów n = 2, 3, 4 lub 6 — symetria obrotowa 5-krotna i dla dowolnego n ≥ 7 jest matematycznie niemożliwa w wzorcu tapetowym (w przeciwieństwie do pojedynczego dekoracyjnego rosetta, który może mieć dowolną symetrię obrotową). Dowód to krótki argument przeciwnych założeń: załóżmy, że istnieje środek n-krotny obok najkrótszego wektora translacji, zastosuj obrot do tego wektora z obu końców i dla n = 5 lub n ≥ 7 wynikowy nowy wektor translacji okazuje się być krótszy niż ten, który wybraliśmy — przeciwnie od założenia, że wybraliśmy najkrótszy. To twierdzenie ograniczenia krystalograficznego, a ono jest powodem dla którego podłogi, tapety i struktury krystaliczne nigdy nie pokazują prawdziwej symetrii 5-krotnej ani 7-krotniej, nawet jeśli symetria 5-krotna jest całkowicie powszechna w pojedynczych motywach, takich jak gwiazdki lub kwiaty, które nie muszą być powtarzające.

Płyty Penrose'a to słynne ucieczka: pokazują symetrię 5-krotną dokładnie dlatego, że są aperiodyczne — nigdy nie powtarzają się przez translację, więc ograniczenie krystalograficzne (które założenie ma dwie niezależne translacje) prosto nie dotyczy ich.

Nazewnictwo: co powiedzieli nam p4m i p6m

Standardowe skróty crystallograficzne kodują strukturę grupy. Pierwsza litera p (lub c) oznacza komórkę pierwotną (lub zcentrowaną). Liczba reprezentuje najwyższą symetrię obrotową obecna w grupie (1, 2, 3, 4 lub 6). Literki końcowe oznaczają osie symetrii: m dla lustrzanej symetrii, g tylko dla przesuniętej lustrzanej symetrii, a druga literka, gdy osie lustrzane są w dwóch różnych kierunkach. Więc p4m oznacza komórkę pierwotną z centrami obrotowymi 4-krotnego stopnia i lustrzanej symetrii — symetrię prostokątnej siatki lub szachownicy, podobnie jak w prostym szachownicznym wzorze. P6m dodaje centra obrotowe 6-krotnego stopnia i lustrzane symetryjne, co odpowiada symetrii siedmiokątnej marmurowej siatki, najgęstszej i najbardziej ograniczonej z wszystkich 17 grup.

Gdzie rzeczywiście stosuje się te 17 grup

To nie jest tylko klasyczne podział na dekoracyjne cechy. Kristalografia używa analogicznego w trzy wymiarach (230 grup przestrzennych) do katalogowania sposobu powtarzania atomów w rzeczywistych siatkach kristalowych, co jest podstawowym elementem analizy difrakcji promieni X i nauki o materiałach. Artysty islamskiej geometrii, zwracając się do tych wzorów ponad sto lat przed dowodzeniem Fedorova, empirycznie eksplorowały wzory realizujące większość lub wszystkie 17 grup dawno przed tym, jak została wprowadzona formalna klasifikacja. I to samo teoria grup podporządkowuje się współczesnej syntezie tekstur i proceduralnej generacji wzorów w grafice komputerowej, gdzie wybór grupy tapetowej na początku gwarantuje rezultat bezpiecznie łączący się.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Wallpaper Symmetry Groups i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.