Wielościennych Ond: Gdzie Diffuzja Przecina się z Propagacją

Nie puresz ani sól, ani płyn

Ideálny elastyczny sól przechowuje energię mechaniczną i zwraca ją - uderz w dzwonek i zabrzmi. Ideálny viskozytny płyn rozprasza energię mechaniczną na ciepło - wymieszaj miód, a ruch się zatrzyma. Najbardziej rzeczywiste materiały, od tkaniny biologicznej do polymerów po mantelu Ziemi w skalach geologicznych, robią to jednocześnie: są viskoelastycznym. Jakie zachowanie dominuje w danej sytuacji nie jest stałą właściwością materiału, ale zależy od tego, jak szybko badamy materiał, a ta zależność czasowa jest dokładnie tym, co sprawia, że propagacja viskoelastycznych odczynów jest bardziej bogata i dziwniejsza niż zwykła propagacja elastycznych odczynów.

Model Maxwella: sprężyna i zatopionka w serii

Najprostsza matematyczna opis, która uwzględnia zarówno natychmiastowy odpowiedź elastyczny, jak i długoterminowe przepływanie z-viskozu, to model Maxwella: sprężyna o mocy G w serii z zatopionką z-viskozną o viskozności eta. Zastosowana nagle siła jest początkowo trzymana całkowicie przez sprężynę (odpowiedź elastyczna), ale pod wpływem długoterminowej siły naprężenia, zatopionka powoli rozciąga się i naprężenie wolno maleje ku zero (przepływ z-viskozny) - rzeczywisty sól poddany stałemu deformacji, który stopniowo straci swoją opor, co dokładnie odpowiada zachowaniu siły relaksacji w wielomianach i kamieniach.

Maxwell model:  spring (modulus G) + dashpot (viscosity eta), in SERIES
relaxation time:      tau = eta / G
stress under constant strain:   sigma(t) = sigma_0 * exp(-t / tau)     // exponential stress relaxation
complex modulus:      G*(omega) = G * (i*omega*tau) / (1 + i*omega*tau)

Przeciętna częstotliwość przejścia: miejsce, gdzie rozpraszanie się zamienia w propagację

Najważniejsza ilość w modelu to czas relaksacji, tau = eta / G, lub równoważnie jego odwrotność, przekraczająca (kątowa) częstotliwość omega_c = G / eta. Oznacza ona granicę między dwoma podmiotowo różnymi typami zachowania falowego w tym samym materiacie:

omega << omega_c (współczynnik mnożenia mała, długosć czasu względem tau): dashpot ma czas na relaksację -> materiał zachowuje się VIZKOZNY -> przesunięcia ROZPRASZAJĄ SIĘ, z dużym tłumieniem, bez czystego frontu fali omega >> omega_c (współczynnik mnożenia duży, krótkoskala względem tau): dashpot nie ma czasu na ruch -> materiał zachowuje się ELASTYCZNY -> przesunięcia PRZYGŁASZCZONE jako fala z znacznie mniejszym tłumieniem To dlatego taka sama blok materiału może wydawać się solida lub cieczą, oznacza to jedynie szybkość uderzenia - znanej zabawki na imprezie z silicone-bazowaną "springową puttym" która drży jak trwała kula gumowa podczas rzucania (współczynnik mnożenia duży, powyżej omega_c) ale przepływa i formuje się w pudełko pod własnym ciężarem, gdy zostaje opuszczona (współczynnik mnożenia mały, poniżej omega_c). Moduł skomplikowany G*(omega) formalizuje to: jego część rzeczywista (moduł zapisywania) śledzi przechowywanie energii elastycznej i dominuje na wysokich częstotliwościach, podczas gdy jej część urojona (moduł straty) śledzi rozpraszanie w viskozny i dominuje na niskich częstotliwościach, a dwie te części przekraczają się dokładnie w punkcie omega = omega_c.

omega << omega_c  (slow forcing, long timescale relative to tau):
    the dashpot has time to relax -> material behaves VISCOUS -> disturbances DIFFUSE, heavily damped, no clean wavefront

omega >> omega_c  (fast forcing, short timescale relative to tau):
    the dashpot has no time to move -> material behaves ELASTIC -> disturbances PROPAGATE as a wave with much less attenuation

Po najprostszym modelu

Najprostszy model Maxwella ma znany wady: przewiduje, że materiały przepływają bez ograniczeń pod wpływem stałego nacisku, co jest nierealistycznym opisem prawdziwych sól. Model Kelvin-Voigt (sprężyna i zatocznik w równoległej konfiguracji zamiast serii) naprawia to, ale z utratą natychmiastowej elastycznej reakcji, a standardowy sól liniowy (model Zenera) łączy elementy obu tych modeli, aby opisać materiały o skończonym stałościowym sprężystości i rozpuszczalności w czasie - bardziej realistyczny opis większości miękkich tkanków biologicznych i polimerów, z utratą drugiego czasu rozpuszczalności do dostosowania.

Zachowanie naturalne i zaniedbywanie

Modely wiskoelastycznych fal przewidują nieuniknione rozpraszanie - różne częstotliwości komponentów fali poruszają się ze różnymi prędkościami - oraz zależne od częstotliwości zaniedbywanie, ponieważ straty energii poprzez dashpot są proporcjonalne do szybkości deformacji materiału. To jest bezpośrednio mierzone i użyteczne: elastografia, technika obrazowania medycznego, wysyła niskofrekencyjne faliki skrystałe przez tkanki i pomiar prędkości oraz zaniedbywania pozwala na wywnioskowanie różnic w masywności, które mogą wskazywać na powstanie nowotworów (które tendują do być bardziej maszwejsze niż sąsiednie zdrowe tkanki) bez niszczenia. Sejmołodzy stosują podobne zasady fizyki, ale na znacznie większej skalie: mantela Ziemi zachowuje się elasticznie dla szybkich fal sejsmicznych, ale płynie wiskosytycznie na czasach trwania tysięcy lat odwracania się po lądowaniu lodu, a dopasowanie obu zasad do jednego modelu wiskoelastycznego jest kluczowe dla współczesnych modeli konwekcji manteli i tektoniki płytek.

Dlaczego przejście ma znaczenie dla symulacji propagacji fal

Symulowanie propagacji węglowodanowych fal numerycznie oznacza wybór odpowiedniego kroku czasowego i rozdzielczości przestrzennej, aby uzyskać dobre rozwiązanie najwyższych częstotliwości, które interesują nasze w stosunku do omega_c, oraz poprawne wprowadzenie fizyki zrelaksacji w równaniach dyskretnych - proste rozwiązywanie fal elastycznych z tłumieniem dodanym na końcu nie da prawidłowej wartości tłumienia, chyba że implementuje ono skomplikowany moduł uogólniony zależny od częstotliwości zamiast jednej stałej współczynnika tłumienia.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Viscoelastic Wave Propagation Simulator i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.