Automat komórkowy Turinga: Morfogeneza

Rozprzestrzenianie się powoduje wzory, nie jednorodność

Instynkt podpowiada, że rozprzestrzenianie się przysporza równomierności — wymieszaj dwie chemiczne substancje i zanikną one w jasnoniebieski kolor. Turing pokazał jednak, że to nie musi być prawdą: jeśli szybko rozprzestrzeniający się inhibitor reaguje ze wolno rozprzestrzeniającym się aktywatorem, małe losowe oscylacje mogą zostać zwiększone do stabilnego i powtarzalnego wzoru. To jest niestabilność prowadząca do rozprzestrzeniania się, a jest to dominująca model matematyczny wyjaśniający, jak jednorodne jajko rozwija plamy, paski i sekcje. Wersja automatu komórkowego dyskretyzuje oryginalną systematyczną zespół równań różniczkowych cząstkowych Turinga: przestrzeń staje się siatką komórek, czas postępuje w ustalonej kolejności, a rozprzestrzenianie się stało się średnictwem nad sasiadów komórki — zachowanie jakościowe prawie nie ulega zmianie po uproszczeniu.

Z równania różniczkowego do siatki: dyskretyzacja laplasjanu

Równanie reakcji-diffuzji ciągłe dla koncentracji chemicznej u ma postać ∂u/∂t = D·∇²u + f(u,v). Na siatkach, laplasjan ∇²u — który mierzy, ile różni się wartość komórki od otoczenia — staje się proste szkieletowanie:

∇²u[i,j] ≈ u[i-1,j] + u[i+1,j] + u[i,j-1] + u[i,j+1] − 4·u[i,j]

A cellular automaton keeps this update strictly local and synchronous —
every cell reads only its immediate neighbours from the previous grid,
and all cells update together, the same double-buffering discipline
used in Conway's Game of Life.

Trójkroczny zasada lokalnego regulowania automatu komórkowego

Każda komórka przechowuje dwie liczby: koncentrację czynnej chemicznej A i inhibitoryjnej chemicznej B. Podczas każdego ticka każda komórka wykonuje tę samą lokalną zasadę: rozpraszanie — łączy każdy chemiczny substancji w kierunku średniej jego otoczenia, ważone według własnej szybkości rozmieszczania; reakcja — czynnik jest produkowany autocatalitycznie i zużywany przez inhibitoryjną substancję, podczas gdy inhibitoryjna substancja jest produkowana przez czynnik czynnościowy i zanika w sposób własny; korekcja — ogranicza obie koncentracje do prawidłowego zakresu, aby automat pozostał numerycznie stabilny na długoterminowej skalce. Czynnik rozmieszczany jest wolno i samonakładający się — sygnał mówiący „stanie się tu punktem” — podczas gdy inhibitoryjna substancja rozmieszczana jest szybko i zahiatajuje czynnik na długim zakresie: lokalne aktywowanie, laterały zahiatacje, ogólny receptura za każdym razem, gdy pojawia się wzór Turinga.

Model Gray-Scotta

Model Gray-Scotta jest najbardziej szeroko stosowanym konkretizmem. Dwa chemiczne substancje U (podstawa) i V (aktywator) reagują jako U + 2V → 3V — V samokatalitycznie przekształca U w więcej siebie — z dopływem substancji U o stopniu F i usunięciem V o stopniu k:

ΔU = D_u · ∇²U − U·V² + F·(1 − U)
ΔV = D_v · ∇²V + U·V² − (F + k)·V

Typical diffusion constants: D_u = 0.16, D_v = 0.08 — the
inhibitor diffuses roughly twice as fast as the substrate,
satisfying Turing's core requirement.

Punkty, pasy i labirynty: przegub F i k

Przez całą niemal słownictwo wizualne wzorów Turinga pochodzi z przegubu tylko dwóch parametrów. Punkty (Turingowe "leopardowe" rejon) pojawiają się dla F ≈ 0,035, k ≈ 0,065 — izolowane klastery aktywatora otoczone inhibitoryjnymi obszarami. Pasy i labirynty (rejon zebrowy) pojawiają się dla F ≈ 0,029, k ≈ 0,057 — połączone brzegi zamiast izolowanych punktów. Replikujące się punkty (rejon podobny do mitosis) pojawiają się dla F ≈ 0,03, k ≈ 0,06, gdzie punkty dzielą się, gdy rosną ponad pewien kluczowy rozmiar. Szerokie pasy między stabilnymi rejonami tworzą wzory chaotyczne, podobne do wierzb, które nigdy nie osiągają równowagi. Granica między "formami wzorów" a "wszystko zdegeneruje się do jednorodnego brązowego" jest samą bifurkacją Turinga — stosunek difuzji D_v/D_u musi przekroczyć pewien kluczowy próg, aby niestabilność mogła wystąpić w ogóle.

Gdzie te wzory pojawiają się w biologii

Paski u żelazki wynikają z interakcji komórek pigmentowych (xantoforów i melanoforów), które zachowują się niemal dokładnie tak, jak w modelu Gray-Scott. Wzory skórne lewów i girafów pokrywają się ze spotami rozmiaru i odstępu przewidzanymi dla odpowiednich długości fal Turinga zależnych od stopnia rozmieszczania morfogenów na skórze. Formowanie palców w przed nuestych kończynach zwierząt drgawkowych obejmuje sygnałizację Sox9/BMP/Wnt, która zachowuje się jak układ reakcji-diffuzyjny, który regularnie rozstępuje palce. A rosnąca krawędź skorupy morskiej jest efektywnie systemem 1D Turinga, którego wyjście zapisywane jest jako wzór 2D w czasie — co wyjaśnia położenie pigmentacji na skorupach morskich.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Reaction-Diffusion Patterns in a Turing System i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.