Defekty topologiczne: dynamika wirów w modelu XY

Pole strzałek na siatce

Model 2D XY umieszcza małą strzałkę — dwuwymiarowy wektor jednostkowy, lub spin, charakteryzowany tylko przez kąt — na każdym punkcie siatki. Sąsiednie strzałki preferują takie samo kierunek, co prowadzi do kosztu energetycznego za nieporządkowanie, dokładnie podobnie jak sąsiednie momenty magnetyczne w rzeczywistym magnecie, które preferują aligment. Nie tak jak w prostszym modelu Isinga, gdzie każdy spin może wskazywać tylko w górę lub w dół, spin XY może wskazywać w dowolnym kierunku na płaszczyźnie, co jest dokładnie tą dodatkową wolnością, która pozwala na wystąpienie wirłów.

Wortexy: wirnica z ładunkiem topologicznym

Przejdź po małej zamkniętej pętli spinów i śledź, jak się zmienia kąt wskazówek. W spójnej, dobrze ułożonej regionie, kąt zwraca się do tego samego miejsca bez netowej rotacji. Wokół wortexu jednak, kąty wskazówek wykonują pełną 360 stopniową obrót podczas przebywania po pętli — wzór wirnicy zamarznięty w polu. Całkowita rotacja, podzielona przez 360 stopni, to liczba obrotowa wortexa, i może przyjmować tylko określone wartości dyskretnych (całkowite dla systemów typu modelu XY, lub półcałkowite dla krystalu cieczowego nematicznego, gdzie obrót o 180 stopni nie jest fizycznie rozróżnialny od oryginału), ponieważ pole musi wrócić do wartości zgodnej raz zamkniętą pętlę.

liczba obrotowa wortexa w = (1 / 2π) * Σ Δθ wokół zamkniętej pętli spinów w = +1 wortex (wskazówki obracają się raz, z tym samym kierunkiem co pętlka) w = -1 antivortex (wskazówki obracają się raz, z przeciwnym kierunkiem) w = ±1/2 disklinacja (defekty półcałkowite, np. w krystalach cieczowych nematicznych) Defekt o liczbie obrotowej ±1 to wortex lub antivortex; przypadki ±1/2 to disklinakcje, widoczne w systemach, gdzie parametr porządku ma dwukrotną zamiast jednokrotną symetrię. Ponieważ ta liczba obrotowa może przyjmować tylko określone wartości dyskretnie niezmiennicze pod wpływem dowolnego gładkiego i ciągłego deformowania pola wskazówek, to jest autentycznym iloczynem topologicznym — wortex nie może być prosto uspokojony przez niewielkie drganie pola; można go zniszczyć tylko poprzez kolizję z antivortexem o przeciwnym znaku.

winding number  w = (1 / 2π) * Σ Δθ    around a closed loop of spins

w = +1   vortex        (arrows rotate once, same sense as the loop)
w = -1   antivortex    (arrows rotate once, opposite sense)
w = ±1/2 disclination  (half-integer defects, e.g. in nematic liquid crystals)

Przymykanie, odpytywanie i anihilacja

Wierzchołek topologiczny osadzony samotnie w modelu XY przeskalowuje całe otaczające pole, a jego energia elastyczna efektu deformacji rzeczywiście rośnie z rozmiarem systemu — to prawdziwe koszt, jakiego musi ponieść model za hostowanie izolowanego defektu. Przywołaj dwa wierzchołki blisko siebie i ich pola efektu deformacji interagują tak samo jak pola otaczające ładunki elektryczne podobne lub przeciwnego znaku: dwa wierzchołki tego samego znaku odpytywają się, ponieważ zmuszenie do większej sumarycznej skrętu w małej wspólnej dziedzinie jeszcze bardziej podnosi energię; dwa o przeciwnym znaku przymykają się, ponieważ ich pola częściowo anulują się poza parą, co spada całą energię, im bliżej są. Pozwól, aby para przeciwnego znaku kolizjonowała i zniknęła, usmazując pole powrót do netto skrętu zerowego i wypuszczając energię, która była przechowywana w ich zintegrowanej deformacji — to samo kwalifikacyjne zachowanie widoczne w języku cząstka-antycząstka używanym dla defektów topologicznych w kosmologii i fizyce kondensowanych stanów materii bardziej szeroko.

Przejście Berezinskiego-Kosterlitsa-Thoulsesa

Kwanty są kluczowe również dla jednego z najbardziej poetyckich przejść fazowych w fizyce statystycznej. Na niskiej temperaturze koszt energii izolowanego kwantu jest nieprzekroczyty, dlatego kwanty istnieją tylko jako tightly bound pary o przeciwnych znakach, których łącząca się, głównie anulująca polowa szybko zanikająca z odległością pozwalają systemowi zachować formę długookresowego porządku — nie idealnego, jednorodnego aligmentu, ale wolno, zasada potęgowa malejącej korelacji między oddalonymi spinami, nazywanej półdługookresowym porządkiem. Podnoszenie temperatury powyżej wartości krytycznej pozwala na to, że energia termiczna jest wystarczająca do rozpadu tych związanych par w gaz niezależnie się poruszających wolnych kwantów; wolniej zanikające pola każdego wolnego kwantu anulowane przez te kwanty zniszczy nawet ten półdługookresowy porządek, a korelacje między oddalonymi spinami maleją wykładniczo zamiast tego. Przejście Berezinskiego-Kosterlitsa-Thoulsesa (BKT) jest niezwykłe wśród przejść fazowych, ponieważ jest ono całkowicie napędzone rozpadem defektów topologicznych, a nie przez bardziej znane spontaniczne rozbijanie symetrii w przejściu typowym porządku-rozporządku — za pracę na temat tego przejścia otrzymali Kosterlitz i Thouless Nobla Nagrodą Fizyki w 2016 roku (z Haldane'em, za pokrewną pracę).

Takie defekty, wiele materiałów

Wariacje modelu XY nie są tylko abstrakcyjnym zainteresowaniem — ta sama matematyka liczb obwodowych, atrakcji i odpycha oraz rozpadu BKT opisuje linie wariacji w superkonduktorze typu-II przesłanym polem magnetycznym, kwantowane wariacje, które pojawiają się w rotującym helium supefluido czy kondensacie bosonowo-steinera, diskliny, które organizują teksturę wyświetlacza liquid-crystynowego nematicznego, oraz struktury domenowych cienkich pokładów magnetycznych. Gdziekolwiek fizyczny system opisany jest parametrem porządku o ciągłej symetrii krzywej, ta sama rodzina defektów topologicznych i ta sama forma przelomu sterowanego defektami powtarza się.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Topological Defects — Vortex Dynamics i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.