Drgnięcie Nici: Jak Jedno Potrząsnięcie Staje Się Harmoniczna Skrzypca

Równanie założone za każdą nici gitary

Naciągnięta nica — nica gitary, łańcuch drapany na jednym końcu — podlega równaniu wodzącowi jednowymiarowemu, jednej z najstarszych i najczęściej badanych równań różniczkowych cząstkowych w fizyce, po raz pierwszy sformułowanemu przez Jean le Ronda d'Alemberta w 1746 roku:

∂²y/∂t² = c² · ∂²y/∂x², c = √(T / μ) y(x,t) = przesunięcie perpendykularne nici w punkcie x, czas t T = napięcie nici μ = gęstość masa liniowa (masa na jednostkę długości) c = prędkość wodząca na nici demonstracja live · podbij nici i obserwuj kształtowanie się wibracji stałych● LIVE Naciąganie nici (zwiększenie T) lub używanie cięższej nici (zmienna μ) zwiększają prędkość wodzącą c, co dokładnie wyjaśnia dlaczego nici gitary podbijane bardziej naciągnięte są wyższym tonem, a grubojsze, ciężkie nici basowe brzmiają niższo na tyle samo napięcie i długość.

∂²y/∂t²  =  c² · ∂²y/∂x²,     c = √(T / μ)

y(x,t) = transverse displacement of the string at position x, time t
T      = string tension
μ      = linear mass density (mass per unit length)
c      = wave speed along the string

Zamknięte końce przekształcają dążące welle na statyczne welle

Nicię zamknięte na obu końcach nie może wspierać dowolnej wagi — tylko welli, których odkształcenie jest zmuszone do bycia dokładnie równe zero w obu końcach dla całego czasu. Ta restrykcja pozwala jedynie na dyskretną rodzinę kształtów, zwanych trygonalnymi trybami, każda z nich składa się z całkowitej liczby polowych długości fal między dwoma zamkniętymi końcami:

f_n = n · (c / 2L) = n · f_1, n = 1, 2, 3, ... L = długość nici f_1 = trygonalna częstotliwość podstawowa (n=1) f_n = n-ty harmoniczny (nadton), wielokrotność całkowitej f_1 Trygonalny tryb dla n=1 to tryb podstawowy: cała nica porusza się w górę i dół jako jedno długie łuku, bez punktu wewnętrznego stojącego nieruchomo. Trygonalny tryb dla n=2 dzieli nicię na dwie łuki poruszające się w przeciwnych kierunkach, z jednym punktem stojącym dokładnie w połowie. Każdy tryb ma węzły — punkty, które nigdy nie poruszają się — oraz antywęzły — punkty maksymalnego odkształcenia — a n-ty harmoniczny zawsze ma dokładnie n-1 wewnętrzne węzły.

f_n = n · (c / 2L) = n · f_1,    n = 1, 2, 3, ...

L   = string length
f_1 = fundamental frequency (n=1)
f_n = the n-th harmonic (overtone), a whole-number multiple of f_1

Dlaczego nicięciem nici wydobywają się wszystkie harmoniczne naraz

Rzeczywiste nicięcie nie aktywuje pojedynczego czystego trybu drgań — aktywuje całą superpozycję harmonicznych jednocześnie, każda z nich ma własną amplitudę wyznaczoną dokładnie tam, gdzie i jak została zakłócona nica. Twierdzenie Fouriera gwarantuje, że ta dekompozycja jest zawsze możliwa: dowolny kształt, jaki może przybrać nica, niezależnie od jego nieporządku, można zapisać jako sumę ważoną trybów normalnych o czysto sinusoidalnej formie. Nicienie w pobliżu środka akcentuje podstawowy tryb i nieparzyste harmoniczne; nicienie w pobliżu jednego z końców wprowadza znacznie więcej wysokich harmonicznych, co jest powodem dla tego, że nuta grana blisko brzegu gitary brzmi bardziej jasno i cieniej — bogatsza w zawartości częstotliwości wyższych — niż ta sama nuta grana nad dziurą dźwiękową.

Dlaczego rzeczywiste nici zanikają, a to zanik wpływa na timbrę

Idealna równanie wodzące bez terminu tłumienia przewiduje nić, która drży w nieskończoność po jej wyplucknięciu. Rzeczywiste nici stracają ciągle energię — do oporu powietrza, do wewnętrznego tłumienia podczas zginania nici oraz poprzez radiację dźwięku przez tło, na które są przywiązane — i każda harmonika zaniknie w własnym tempie, zazwyczaj szybciej dla wyższych harmonik. Nieuniformne zanikanie jest dużą częścią dlaczego timbra noty zmienia się zauważalnie podczas jej życia: jasny i skomplikowany natychmiast po wyplucknięciu, cieplejszy i prostszy, gdy wyższe harmoniki zanikają najpierw, pozostawiając na końcu głównie dźwięczenie podstawowej częstotliwości.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz String Vibration — Standing Waves and Harmonics i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.