Oscylacje stacjonarne i rezonans: tryby, wzory Chladnia i czynnik Q

Nody i antynody, a nie podróżna energia

Oscylacja stacjonarna powstaje w momencie, gdy dwie przeciwlegle falowate dźwiękowe o tej samej częstotliwości i amplitudzie nakładają się — zamiast przewozić energię, superpozycja zamarza w nody (minimalna deformacja) i antynody (maksymalna deformacja). Na łańcuchu o długości L zamkniętym na obu końcach tylko tryby sinusoidalne, które zerują się dla x=0 i x=L, przetrwują, co daje podstawową f₁ = c/(2L) oraz harmoniki, które są dokładnymi wielokrotnościami całkowitymi: f₂=2f₁, f₃=3f₁, itd — szereg harmoniczny, który stanowi podstawę skali muzycznych zachodnich.

u(x,t) = Σₙ Aₙ · sin(nπx/L) · cos(ωₙt + φₙ)      ωₙ = nπc/L,  c = √(T/μ)
Guitar A-string (L=0.65m, T=81N, μ=3.8×10⁻⁴ kg/m): c≈462 m/s, f₁≈355 Hz ≈ A4

Rezonans i czynnik Q

Napędzając lekko zatyturowany oscylator przy jego częstotliwości naturalnej ω₀, stała-amplituda rozbiega się ku F₀/(mγω₀). Czynnik Q = ω₀/γ pomiaru określa, jak ostro jest zdefiniowany ten wierzchołek — również równe jest iloczynowi ω₀ i przechowywanej energii przez moc utraty. Natarcię na drut gitarowego w powietrzu ma Q od kilkuset do kilku tysięcy; kryształ szklany osiąga 10⁴-10⁶; cavata optyczna Fabry-Pérot może przekroczyć 10⁹. Wysoki czynnik Q oznacza szeroką, dokładnie napiętą rezonans, który dźwięci przez długi czas — a znanej z tego powodu, takie oscylatory mogą być nadal napędzane do amplitudy distructive przez wiatr (Q ≈ 40) na mostu Tacoma Narrows.

Figury Chladnia i niewarunkowe skrzepy

Zastąpmy oscylacje stacjonarne dwuwymiarowymi i modek membrany prostokątnej stać się będą u_mn(x,y,t) = A·sin(mπx/a)·sin(nπy/b)·cos(ω_mnt) — piasek upadający na vibrującą płytę zebrane jest wzdłuż linii nodalnych, tworząc figury Chladnia, które Ernst Chladni pokazał w 1787 roku. Skrzepy okrągłego skrzepa są inne: ich modeki są kontrolowane przez funkcje Bessel'a, których zera nie są równo rozstawione, a raczej irracjonalne, co oznacza, że overtony skrzepu są niewarunkowe — nie wielokrotności całkowitej tonu podstawowego — co exactly jest powodem dla którego skrzepy brzmią mniej „purer” niż drapieżnałała.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Standing Waves in Pipes i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.