Kriging: Interpolacja Przestrzennej z Honesty Uncertainty

Odgadywanie tego, co leży między próbkami

Stacji pomiarowych deszczu, borełów z próbek glebowych, kory drążniczych z metalogii, czujników jakości powietrza — rzeczywiste pomiary prawie nigdy nie pokrywają terenu kontynuowicie. Interpolacja przestrzenna polega na konwersji rozrzutnej zestawienia punktowych pomiarów na kontynuową estymowaną powierzchnię. Proste podejścia są deterministyczne: najbliższy sąsiad kopiuje najbliższą próbkę, a wagowanie odwrotności odległości łączy bliskie próby w zależności od ustalonego potęgowania odległości. Oba tworzą powierzchnię, ale ani jedno nie opiera się na rzeczywistym zachowaniu podstawowej zjawiska w przestrzeni, a oba nie informują, jak bardzo można zaufać wynikowi poza punktem próbkowania.

Zasada Tobler'a i variogram

Pierwsza zasada geografii Walda Toblera stanowi to jasno: wszystko jest powiązane z każdym innym, ale bliższe rzeczy są bardziej powiązane niż oddalone. Kriging przekształca tę intuicję w funkcję. Variogram (lub semivariogram) opisuje, jak różnorodne są dwie pomiary, gdy odległość między nimi rośnie:

γ(h) = 0.5 * E[ (Z(x) - Z(x+h))^2 ] // oczekiwana kwadratowa różnica przy przesunięciu h model sferoidalny dopasowany do empirycznej krzywej: γ(h) = nugget + sill * (1.5*(h/range) - 0.5*(h/range)^3) dla h < range γ(h) = nugget + sill dla h >= range Trzy parametry opisują dopasowaną krzywą. Nugget to nieciągłość przy zerowej odległości — szum pomiarowy lub rzeczywista mikroskalowa zmienność, której siatka próbkowania jest za gruba do rozpoznania. Sill to plateau wariancji, na które krzywa osiąga stałą wartość, gdy punkty są wystarczająco oddalone, aby być statystycznie niezależne. Range to odległość, w której osiągnieto ten pokój.

γ(h) = 0.5 * E[ (Z(x) - Z(x+h))^2 ]      // expected squared difference at lag h

spherical model fit to the empirical curve:
γ(h) = nugget + sill * (1.5*(h/range) - 0.5*(h/range)^3)   for h < range
γ(h) = nugget + sill                                        for h >= range

Krigeowanie zwyczajne: najlepszy liniowy niezbiastowany prognozator

Krigeowanie zwyczajne estymuje wartość w niesamplowanym punkcie jako sumę ważoną bliskich próbek, ale w przeciwieństwie do krzyżowej wagowania odwrotności odległości, wagi nie są wybierane ręcznie — wyznaczają się z liniowego systemu budowanego bezpośrednio na podstawie dopasowanej variogramy, pod warunkiem jednego ograniczenia: wagi muszą sumować się do jedynki, co gwarantuje, że estymator jest niezbiastowany.

dla każdego próbyku i, rozwiąż: Σ_j λ_j * γ(x_i, x_j) + μ = γ(x_i, x0) // μ = mnożnik Lagrange'a Σ_j λ_j = 1 // ograniczenie niezbiastowania estymacja: Ẑ(x0) = Σ_j λ_j * Z(x_j) wariancja: σ²(x0) = Σ_j λ_j * γ(x_j, x0) + μ Między wszystkimi liniowymi estymatorami, ta wybrana metoda wag minimizuje oczekiwany kwadratowy błąd — co dokładnie jest znaczeniem

for every sample i, solve:
   Σ_j λ_j * γ(x_i, x_j) + μ = γ(x_i, x0)      // μ = Lagrange multiplier
   Σ_j λ_j = 1                                  // unbiasedness constraint

estimate:  Ẑ(x0) = Σ_j λ_j * Z(x_j)
variance:  σ²(x0) = Σ_j λ_j * γ(x_j, x0) + μ

Kontrolki: nugget i zakres zmieniają powierzchnię

Podnoszenie nuggetu w stosunku do sill powoduje, że interpolowana powierzchnia staje się bardziej kruchta i przyciąga się bliżej średniej globalnej nawet w bliskim sąsiedztwie próbek, ponieważ model jest poinformowany, że dane same są szumowe i mniej zaufane. Zmniejszanie zakresu sprawia, że wpływ każdej próby staje się bardzo lokalny, tworząc powierzchnię brudną, podobną do najbliższych sąsiadów; rozciąganie zakresu spowalnia powierzchnię, z dalszymi próbkami przyciągającymi siebie i prognozami wykraczającymi dalej z wyraźnym (ale niekoniecznie uzasadnionym) zaufaniem.

Gdzie rzeczywiście stosuje się kriging

Metoda ta nosi nazwę Daniego Krige’a, pochodzącego z Lucyfarnych gór inżyniera dobroczynnego, a matematycznie została formalizowana przez Georges’a Matherona w latach 60. XX wieku pod nazwą geostatystyki — jej pierwsza praca polegała na szacowaniu zapasów rud z rzadkiego siatka przewodniczących, gdzie poprawna ocena niepewności ma bezpośrednie finansowe konsekwencje. Od tego czasu kriging rozszerzył się do nauk o glebach, precyzyjnej rolnictwa, mapowania poligazów środowiskowych, i interpolacji klimatycznej i opadów deszczowych. Istnieje również prosta linia łącząca kriging z nowoczesnymi technikami uczenia maszynowego: zwykły kriging jest matematycznie identyczny do regresji procesu Gaussowskiego z funkcją_covariancji wywnioskowaną z variogramu — te same równania, inny terminologii, rozwinięte niezależnie w geostatystyce i statystyce dekadami po sobie.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Spatial Interpolation & Kriging i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.