Model SEIR: Jak wybuchają i giną epidemie

Z SIR do SEIR: dodanie okresu incubacji

Klasyczny model SIR dzieli populację na trzy kompartamenty — Infekcjonowalne, Chorobliwe, Zdrowe — i przenosi ludzi między nimi dwiema stopniem szybkości: stopniem transmisji β (infekcjonowalny spotyka chorobliwego, staje się chorobliwy) oraz stopniem odzyskawania γ (chorobliwy staje się zdrowy). Jest to dobry pierwszy model, ale nie jest on odpowiedni dla chorób o znaczącym okresie incubacji, w których osoba jest zainfekowana, ale jeszcze nie jest chorobliwa. Model SEIR dodaje czwarty kompartament — Obrzucone — oraz stopień σ (odwrotność średniego okresu incubacji), który reguluje jak szybko osoba obrzucona staje się chorobliwa:

dS/dt = -β*S*I/N dE/dt = β*S*I/N - σ*E dI/dt = σ*E - γ*I dR/dt = γ*I demo interaktywna · stygnięcia cząstek prowadzą S do E do I do R● LIVE Na tej stronie kompartamenty nie są czterema liczbami integrowanymi jako system równań różniczkowych — to stan oddzielnych ruchących się cząstek. Każda cząstka nosi etykietę kompartamentu, porusza się po płaszczyźnie i przejmuje status, gdy pozycja cząstki infekcjonowalnej pokrywa się z pozycją chorobliwej (stochastyczny analogon terminu β·S·I/N dla każdego stygnięcia) lub gdy zegary wewnętrzne incubacji i odzyskawania wygasały. Przybliżone średniokrocząco, krzywa emergentna powtarza kształty przewidywane przez równania różniczkowe, ale dodatkowo widzisz wpływ przestrzeni: skupienia, lokalne deplecjonowanie infekcjonowalnych oraz wybuchy podobne do superpropagatorów, które model ODE mieszany nie może pokazać.

dS/dt = -beta*S*I/N
dE/dt =  beta*S*I/N - sigma*E
dI/dt =  sigma*E     - gamma*I
dR/dt =  gamma*I

R0 i próg, który rządzi wszystkim

Najważniejsza liczba w epidemiologii to liczbę reprezentującą podstawowy rozprzestrzenianie się R0 — oczekiwana ilość nowych infekcji, które jedna osoba zakażona wywołuje w populacji całkowicie niesusceptybilnej. Dla modelu SEIR, R0 = β/γ. Gdy R0 > 1, każda infekcja powoduje na średnim więcej niż jedną nową infekcję i epidemia rośnie eksponencjalnie w początkowym etapie; gdy R0 < 1, epidemia zanika. R0 nie jest stałą cechą wirusa — zależy od stopnia kontaktów, dlatego zamknięcie miast, noszenie maski i zamknięcie szkół działa na spuszczanie efektywnego rozprzestrzeniania się Rt poniżej 1, a nie zmienia samego wirusa.

Imunizacja grupowa: dlaczego nie muszą być wszyscy immunizowani

Pogranicze imunizacji grupowej to ułamek populacji, który musi być immunizowany (poprzez infekcję lub szczepionkę), aby Rt spadło poniżej 1, nawet jeśli sam patogen pozostaje niezmieniony. Ponieważ teraz każda kontaktna infekcja ma szansę dotknąć osoby już immunizowanej, pogranicze bezpośrednio wynika z R0:

pogranicze imunizacji grupowej p_c = 1 - 1/R0 R0 = 2 => p_c = 50% (przybliżone dla choroby sezonowej) R0 = 6 => p_c ~ 83% (przybliżone dla variole, przed szczepionkami) Osiągnięcie tego ułamka nie usuwa choroby natychmiast; zamiast tego każdy nowy ciąg transmisji staje się statystycznie prawdopodobny do zniknięcia przed dotarciem do wielu osób, chroniąc nawet mniejszość nieszczepioną. Quarantaina działa na innej skali: zamiast usuwać chorych z grupy (jak szczepionka), redukuje ona kontakty chorych poprzez zmniejszenie efektywnego β, a w przeciwieństwie do szczepionki może być odwołana w chwili jej wycofania — co jest powodem, dla którego strategie oparte jedynie na quarantainie tendencjami do produkcji drugiej fali po odblokowaniu, a imunizacja oparta na szczepionkach nie.

herd immunity threshold  p_c = 1 - 1/R0

R0 = 2  =>  p_c = 50%     (roughly seasonal flu)
R0 = 6  =>  p_c ~ 83%     (roughly measles, pre-vaccine estimates)

Gdzie proste modelowanie przestaje być precyzyjne

Przede wszystkim warto znać te deviacje od prostego modelu, przed zaufaniem się liczbom na panelu kontrolnym. Immunitet przeciwko chorobie lub szczepieniu może ulegać zmęczeniu, co przekształca R w S (wariant SEIRS). Sieci kontaktowe nie są homogeniczne — mała liczba superprzekazywaczy dominuje nad transmisją w sposób ukryty za średnim β. A estymaty R0 na podstawie wcześniejszych danych przypadkowych są znanej mniej więcej jako bardzo wrażliwe na niedokładne zgłaszanie i przyjętą długość serii, dlatego estymaty R0 dla tego samego patogenu często się różnią o czynnik dwa między artykułami.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Epidemic Dynamics i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.