Konwekcja Rayleigh-Bénard: Jak ciepło organizuje się same

Rozpuszczalność przeciwdziała przeciwko powiększaniu się

Załóżmy, że małą warstwą cieczy jest zamknięta między dwiema poziomymi płytkami, podgrzewamy dolną płytę i chłodzimy górną. Dopóki różnica temperatur jest mała, ciepło progresuje w górę poprzez rozpuszczalność i płyn pozostaje całkowicie nieruchomo — każdy mały odcinek płynu, który zaczyna się podnosić, powiększony przez to, że jest cieplejszy (i więc cięższy) niż otoczenie, jest tłumiony ponownie na dół przez viskozność, zanim zdąży przejść dalej. Przekraczające ciepło ulewa się poprzez diffuzję termiczną, zanim może mieć znaczenie. Powiększanie się chce odwrócić warstwę; viskozność i diffuzja termiczna chcą jej pozostawić nieruchomo. Kto z nich wygra, zależy od jednego bezwymiarowego parametru.

Ra = (g · α · ΔT · d³) / (ν · κ)

g  = gravitational acceleration
α  = thermal expansion coefficient of the fluid
ΔT = temperature difference, bottom minus top
d  = depth of the fluid layer
ν  = kinematic viscosity
κ  = thermal diffusivity

Krytyczna liczba Rayleigh'a, 1708

Henri Bénard po raz pierwszy fotografował zaskakujący wzór siatkowy w warstwie ciepłego płynu w 1900 roku, ale to lord Rayleigh w 1916 roku opracował teorię momentu i przyczyn, gdy i dlaczego powinien pojawiać się ten efekt. Poniżej krytycznej wartości Ra, dowolna mała perturbacja stanu spokojnego, plynowego i jedynie przewodzącego, zanika. Powyżej tej wartości perturbacje o odpowiedniej długości fali zamiast to rosną, a płyn organizuje się w regularną konwekcję.

granice twardo-twarda (obie płyty bez przesuwu) Ra_c ≈ 1707.76 granice twarda-swobodna (jedna płyta powierzchnia swobodna) Ra_c ≈ 1100.65 powierzchnie swobodne-swobodne (obie powierzchwy swobodne) Ra_c ≈ 657.51 Liczba dokładna zależy od warunków brzegowych, ale Ra_c ≈ 1708 dla standardowego przypadku dwóch twardych płytek bez przesuwu jest jednym z najbardziej znanych wyników w teorii stabilności higrodyodynamicznej — próba, którą można powtórzyć na patelni oleju na gorącym stole kuchennym.

rigid-rigid boundaries (both plates no-slip)   Ra_c ≈ 1707.76
rigid-free boundaries (one plate a free surface) Ra_c ≈ 1100.65
free-free boundaries (both surfaces free)        Ra_c ≈ 657.51

Od ról do heksagonów do chaosu

Blisko punktu zaczepienia, teoria liniowa przewiduje proste i równoległe rury konwekcyjne o długości fali bliskiej dwukrotności głębokości warstwy. W rzeczywistych eksperymentach jednak bardzo często pojawiają się heksagonalne komórki — płyn podnoszący się w centrum każdego heksagonu i opadający na jego wspólnych krawędziach, lub odwrotnie. Rury są preferowanym wzorem tylko wtedy, gdy system jest idealnie symetryczny od góry do dołu; wolna górna powierzchnia lub właściwości płynu zależne od temperatury (najczęściej płyny stały się mniej lepkie przy podwyższonej temperaturze) zranią tę symetrię i przeważy heksagonalne wzory. Dalsze zwiększenie napędzającego — dla wartości Ra rzędu 10⁴ do 10⁵ — powoduje, że rury zaczynają się drgać, potem oscylować w czasie, a w końcu przepływ staje się całkowicie turbulentny. Tego porządanego spadku od ciszy do wzorów do chaosu uczyniło konwekcję Rayleigh-Bénard jednym z klasyków systemów laboratoriowych do badania ścieżek prowadzących do turbulencji, a w tym miejscu Edward Lorenz znalazł sławny atraktor: jego model trójwymiarowy z 1963 roku jest drastyczną skróceniem pełnych równań konwekcji tylko do trzech trygonometrycznych trybów.

Liczba Nusselta: o ile lepsza jest konwekcja?

Zorganizowanie to przynosi korzyści w postaci transportu ciepła. Liczba Nusselta Nu porównuje rzeczywistą szybkość transferu ciepła do tego, co by osiągnęło jedynie kondukcja; dla wartości i poniżej granicznego Ra = 1, liczba ta wzrasta wraz z zwiększaniem się Ra i przejściem do dominacji konwekcji. W rejonie turbulentnym, dekady eksperymentów i teorii prowadziły do debaty nad dokładnym skalowaniem — argument granicny warstwy klasyka dał przybliżoną zależność Nu ∝ Ra^(1/3), podczas gdy Robert Kraichnan w 1962 roku przewidywał, że w ultimatej fazie dla bardzo wysokich wartości Ra skalowanie powinno być bliższe do Ra^(1/2) — a ekspetrymentalne rozstrzygnięcie tej kwestii, w laboratoriach umożliwiających osiągnięcie Rayleigh-ów zastosowanych w astronomii, pozostaje aktywną dziedziną badań dynamiki płynów.

Gdzie jest widoczna

To nie jest tylko kwestia zainteresowania dla stolika. Ulice chmur w atmosferze to duże komórki Bénarda; wolne mieszanie manteli Ziemi, które prowadzi do tectoniki płytek, jest konwekcją opartą na siłach ciężkości na skalę geologiczną; tekstura mottlowana i nieskończenie zmieniająca się powierzchniowej widocznej Słońca, zwane granulacją, to konwekcja w zewnętrznych warstwach gwiazdy; a procesy przemysłowe wzrostu krystalicznych substancji (takie jak metoda Czochralskiego stosowana do produkcji waferów siarkiowych) muszą być zaprojektowane w oparciu o dokładnie tę niestabilność, ponieważ niepożądane komórki konwekcyjne w ciepłym cieczy zakłócają krystal, który rosnie z niej.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Rayleigh-Bénard Convection — Thermal Cells i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.