Rozkład Poissona dla liczenia rzadkich zdarzeń

Gdy zdarzenia są rzadkie, niezależne i stałe

Rozkład Poissona modeluje liczbę razy, ile dana sytuacja wystąpi w ustalonej jednostce czasu, przestrzeni lub innego ciągłego miernika, gdy trzy warunki roughly są spełnione: zdarzenia nie zależą od siebie, występują przy stałym średnim tempie w ciągu, a dwa zdarzenia nie mogą nastąpić dokładnie w tym samym momencie. W podobnych założeniach liczba zdarzeń X ma rozkład Poissona z jednym parametrem λ (lambda), oznaczającym średnią liczbę zdarzeń na jednostkę czasu.

Przykładowo, to może być liczba klientów przychodzących do sklepu w ciągu godziny, liczba błędu ortograficznego na stronie drukowanej, liczba cząsteczek kosmicznych dotykających detektora na minutę lub liczba zgłoszeń pożarowych wpisanych w region na miesiąc. To, co je łączy, nie jest to, że zdarzenia są rzadkie w bezwzględnej mierze, ale to, że są indywidualnie niespodziewane, prawie niezależne i występują przeciwko ustalonym tlemu.

Funkcja prawdopodobieństwa Poissona

Prawdopodobieństwo zdarzenia dokładnie k razy wynosi

P(X = k) = e−λ · λk / k!

gdzie e jest liczbą Eulera (≈ 2,71828) i k! oznacza silnię k. W przeciwieństwie do rozkładu binominalnego, który wymaga znalezienia zarówno liczby prób n, jak i prawdopodobieństwa p dla każdej próby, rozkład Poissona potrzebuje tylko λ, który przystoi również jako średnia i wariancja rozkładu: E[X] = Var(X) = λ. Ta prosta jednoparametrowa forma jest dokładnie tym, dlaczego model Poissona jest tak szeroko stosowany — wystarczy pojedyncze obserwacja z danych historycznych (średnia stopa zdarzeń) do pełnej spełnienia całej funkcji prawdopodobieństwa.

Poisson jako granica rozkładu dwumianowego

Rozkład Poissona nie jest przypadkową alternatywą dla dwumianowego — jest jego granicznym przypadkiem. Wyobraźmy sobie podział ustalonego okresu czasowego na ogromną liczbę małych podprzedziałów n, każdy tak krótki, że w nim może zdarzyć się najwyżej jedno zdarzenie z małą prawdopodobieństwem p. Liczba całkowita zdarzeń połączona jest wtedy dwumianowo parametrami n i p. Gdy n → ∞, a p → 0, przy zachowaniu iloczynu np stałym i równe λ, funkcja prawdopodobieństwa dwumianowej maszowej konverguje dokładnie do powyższego wzoru Poissona. To dlaczego rozkład Poissona jest naturalnym modeliem wtedy, gdy zdarzenie może w teorii nastąpić na dowolnej z ogromnej liczby możliwych chwil, każda indywidualnie niewiarygodna, ale całkowita oczekiwana liczba zdarzeń połączona jest ustaloną i znanej wartości λ.

Jako praktyczne przesłanie, gdy n jest duże (w przybliżeniu n ≥ 100) i p małe (w przybliżeniu p ≤ 0.01), z zachowaniem np = λ modyfikowanym, rozkład Poissona dostarcza bardzo bliskiej i obliczeniowo prostej aproksymacji dwumianowej, unikając konieczności obliczania dużych współczynników dwumianowych.

Średnia równa wariancji: przydatny diagnostyczny test

Ponieważ prawdziwy proces Poissona wymusza, aby średnia i wariancja były dokładnie równe, dane rzeczywiste są często sprawdzane na to właściwość jako pierwszy diagnostyczny test. Jeśli wariancja próbkowa jest wyraźnie większa od średniej próbkowej, stanowiący warunek niewykonalności (overdispersion), to jest sygnałem, że założenia prostej niezależności i stałej szybkości założone pod kątem modelu Poissona są naruszane — być może zdarzenia skupiają się w grupach (jedno wybuchowe wybuch choroby w szpitalu powodujące wiele powiązanych przyjęć, a nie niezależnych), lub podstawowa szybkość sama w sobie się zmienia w czasie lub poziomie badanej populacji. W tych przypadkach statystycy zazwyczaj przejdą do rozkładu binomia negatywnego, który ma dodatkowy parametr specjalnie zaprojektowany do uwzględnienia tego przewyższającego wariancji.

Zastosowania: centra telefoniczne, rozpad i przywitania w szpitalach

Najbardziej klasycznym zastosowaniem rozkładu Poissona jest teoria kolejek: jeśli przybywania klientów do centrum telefonicznego lub linii kasowych rzeczywiście podlegają procesowi Poissona o stopniu λ wywołań na minutę, modele personelu mogą obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnej liczby jednoczesnych klientów, co bezpośrednio informuje o ilości personelu potrzebnej do utrzymania przyjemnych czasów czekania. W fizyce, liczenie rozpadu radioaktywnego ścisłe podlega rozkładowi Poissona, ponieważ każda cząsteczka rozpadnie się niezależnie od każdej innej i populacja jest ogromna, co sprawia, że to jedno z najczystszych rzeczywistych procesów Poissona dostępnych do nauczania. W zdrowiu publicznym, liczba przywitani w oddziałach kryzysowych w daną godzinę lub liczba rzadkich reakcji ubocznych leków zgłaszanych miesięcznie dla całej populacji, jest często modelowana rozkładem Poissona, co bezpośrednio wpływa na decyzje dotyczące personelu i wykrywania sygnałów w ramach monitoringu farmakologicznego — zaznaczając momenty, gdy obserwowana liczba jest wystarczająco wysoka, aby być statystycznie nieoczekiwana pod założonym tle.

Jak kształt się zmienia wraz z wzrostem λ

Dla małych λ (np. λ = 0,5), rozkład jest bardzo prawostronnie asymetryczny, z "nichoceniem zdarzeń" jako najbardziej prawdopodobnego wyniku i szybko skracającym się ogonem. Gdy λ rośnie, szczyt rozkładu przesuwa się w prawo a kształt staje się stopniowo bardziej symetryczny. O około λ ≥ 10, rozkład Poissona jest już widocznie bliski normalnemu rozkładowi z średnią λ i odchyleniem standardowym √λ — kolejna instancja tej samej konwergencji w stronę krzywej dziedziny, która pojawia się na całym świecie teorii prawdopodobieństwa, ponieważ zmienna losowa Poisson(λ) może być budowana jako suma wielu niezależnych zmiennych losowych Poissona o mniejszych stopniach.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz The Poisson Distribution for Counting Rare Events i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.