Fizyka statystycznej mechaniki

📊 Ansamble

Microkanoniczny

E, V, N stałe. Równa się a priori prawdopodobieństwo: mikrostanów. Entropia S = k_B ln(Ω), gdzie Ω = liczba stanów.

Kanoniczny

T, V, N stałe. Funkcja podziału Z = Σ exp(-βE_i), β = 1/(k_B T). F = -k_B T ln(Z).

Grand kanoniczny

T, V, μ stałe. Ξ = Σ exp(-β(E - μN)). Potencjał chemiczny μ. Systemy otwarte.

Ekwivalencja

Limit termodynamiczny N → ∞: ansamble równoważne. Fluktuacje ~ 1/√N. Twierdzenie granicznego rozkładu centrystycznego.

🔬 Rozkład Boltzmana

Ensemble kanoniczny

P(E_i) = exp(-βE_i)/Z. Wyrażenie Boltzmana. Funkcja cząstkowa: Z = Σ exp(-βE_i).

Rozkład Maxwell-Boltzmana

f(v) = 4πn(m/(2πk_B T))^(3/2)·v²·exp(-mv²/(2k_B T)). Rozkład prędkości. Gaz idealny.

Gaz idealny

P = nk_B T. U = 3/2 Nk_B T. Współczynniki cieplne C_V, C_P. Diatomowy: trywialne ruchy rotacyjne i oscylacyjne.

Zastosowania

Szybkości reakcji, fizyka atmosferyczna. Teoria kinetyczna. Fenomena transportu.

⚛️ Wzajemne wykluczenia Fermiego-Diraca

Rozkład

f(E) = 1/(exp((E-μ)/(k_B T))+1). Wykluczenie Pauliego. Energia Fermiego μ ≈ E_F dla temperatury T = 0.

Regim degenerowanego

T < T_F: Regim Fermiego degenerowanego. Funkcja skokowa f(E) dla T = 0. Wypełnione do E_F.

Gaz Fermiego

Metal, gwiazdy białe, gwiazdy neutronowe. T_F = ℏ²(6π²n)^(2/3)/(2mk_B). Wysoka gęstość.

Zastosowania

Elektronów w sólach, degenerowane materia. Gwiazdy białe: degenerezcja elektronów. Granica Chandrasekhar'a.

🌊 Bose-Einsteina

Rozkład

n(E) = 1/(exp((E-μ)/(k_B T))-1). Fotony, fonony. Brak zasady wykluczenia.

Kondensacja

BEC: T < T_c. Makroskopowa populacja w najniższym stanie. ¹⁶⁷Rb, ²³Na. Eksperymenty z 1995 roku.

Fotony

μ = 0 dla fotonów. Rozkład Plancka: n(ν) = 1/(exp(hν/(k_B T))-1). Ośmiornica czerwona.

Phonony

Druciny siatkowe. Model Debye'a: C_V ~ T³ dla T < Θ_D. Pojemność termiczną, przewodnictwo termiczne.

🔄 Przejścia fazowe

Fenomeny krytyczne

Pramierz fazowy η ~ (T_c - T)^β. Długość przechwycająca ξ ~ |T-T_c|^(-ν). Inwersja skali.

Rozkroj symetrii

Samowystąpająca: ferromagnetyczna, supralektryczna. Teoria Landau: F(η) = aη² + bη⁴.

Grupa normalizacji

Fluksja RG: zgrubnianie. Punkty stałe: krytyczne, stabilne. Klasy uniwersalności.

Zastosowania

Magnetyzm, supralektryczność, płyn-parałekwa. Model Isinga, model XY, model Heisenberga.

🌊 Fenomeny transportu

Difuzja

Zakon Ficka: J = -D∇n. D ~ v·l (średnia droga swobodna l). Przepływ losowy: ⟨r²⟩ = 6Dt.

Viskość

Nowotarczykowa: τ = η·(∂v/∂x). η ~ ρvl. Przewód Poiseuilla. Liczba Reynoldsa Re.

Kondukcja ciepła

Fourier: q = -κ∇T. κ ~ cvl. Wiedemann-Franz: κ/σ ~ T. Metalowe materiały.

Fluktuacje i dissipacja

Relacja Einstein: D = k_B T/(mγ). Równanie Langevina. Ruch Browna.

📊 Grafiki i diagramy

Maxwell-Boltzmann

Rozkład prędkości:

Idealan gaz: rozkład MB. Najbardziej prawdopodobna, średnia i wartości odchylenia kwadratowego prędkości. Zależny od temperatury.

Fermi-Dirac

Zawieranie się:

Degenereowany: T < T_F. Funkcja skokowa dla T = 0. Rozpuszczalne w y k_B T przy niezerowej temperaturze T.

f(v) = 4πn(m/(2πk_B T))^(3/2)·v²·exp(-mv²/(2k_B T)) Peak: v_mp = √(2k_B T/m) Average: v_avg = √(8k_B T/(πm)) RMS: v_rms = √(3k_B T/m)

🧪 Praktyczne przykłady

Przykład 1: Idealny gaz

Dygas: P = nk_BT, C_V = 3/2 Nk_B. Rozkład Maxwella-Boltzmana. Współcześnie transportowe.

Przykład 2: Gaz elektronowy

Metal: Energia Fermiego E_F ~ 1-10 eV. Zdegenerowany T < T_F. Pojemność ciepła C ~ T.

Przykład 3: BEC

¹⁶⁷Rb: T_c ~ 100 nK. Makroskopowy kondensat. Superszlopowierność, koherencja.

Przykład 4: Przejście ferromagnetyczne

Ising: T_c, β ≈ 1/3. Parametr porządku, korelacje. Wykładniki krytyczne.

Spróbuj to na żywo

Wszystko powyżej działa w Twojej przeglądarce — otwórz SPH Fluid i zmieniaj parametry podczas jego działania. Nic nie instalujesz, nic nie przesyłasz, cała modelika istnieje w jednym okienku.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz SPH Fluid i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.