Skale Muzyczne: Proporcje Pitagorasa, Just Intonation i Równowartości

Skala to zasada wyboru częstotliwości

Każda skala muzyczna jest, matematycznie rzecz mówiąc, zasadą wyboru niewielkiego zestawu częstotliwości z ciągłego spektrum dostępnych dźwięków, rozmieszczonych w taki sposób, aby brzmiały one celowo powiązane ze sobą. Początek dla niemal każdej systemu strojenia w historii to obserwacja, że podwojenie częstotliwości generuje nutę, która brzmi jak „ta sama nuta, wyższa” – oktawa, a całe sztuka strojenia polega na tym, jak podzielić tę oktawę na użyteczne stopnie pomiędzy nimi.

Najstarszą systematyczną metodą jest strojenie pitagorejskie, zbudowane w całości z przedziału kwadratowego – stosunku częstotliwości 3:2, najprostszy przyjemny stosunek po oktawie (2:1). Powtarzaj dodawanie przedziałów kwadratowych, dzieląc każdy wynik na pół, aby wrócić do jednej oktawy, a dwanaście stacked przedziałów kwadratowych prawie, ale nie w pełni, wraca do początkowej nuty siedmiu oktaw wyżej:

dwańścia przedziałami kwadratowymi: (3/2)^12 = 129.746... siedem oktaw: 2^7 = 128 Przedział pitagorejski = (3/2)^12 / 2^7 ≈ 1.01364 (około 23,46 centów, w przybliżeniu ćwiartka półtonu) Ten pozostały rozbieżność, przedział pitagorejski, nie jest błędem zaokrąglania – to autentyczny fakt matematyczny: żaden całkowity zestaw czystych przedziałów 3:2 nigdy nie będzie równy żadnemu całkowitemu zestawowi czystych przedziałów 2:1, ponieważ 3ⁿ nigdy nie będzie równa potędze 2 dla jakiejkolwiek liczby całkowitej n. Każdy system strojenia w historii musiał zdecydować, jak ukryć tę rozbieżność gdzieś.

Podsumowując, skala to zestaw częstotliwości wybranych z określonego zakresu, aby tworzyły harmonijne sekwencje dźwięków. Zrozumienie tego podstawowego związku między częstotliwościami a dźwiękami jest kluczowe dla zrozumienia, jak powstają i jak je stroimy.

twelve fifths:  (3/2)^12 = 129.746...
seven octaves:  2^7        = 128

Pythagorean comma = (3/2)^12 / 2^7 ≈ 1.01364   (about 23.46 cents, roughly a quarter of a semitone)

Just intonacja: czyste proporcje, niezgrabne modulacje

Just intonacja buduje skalę z małych, całkowitych proporcji, które są bezpośrednio związane z szeregiem harmonicznym generowanym przez drżącą strunę – tercję wielką jako 5:4, kwartę doskonałą jako 4:3, kwintę doskonałą jako 3:2. Akordy zbudowane w ten sposób brzmią niezwykle czysto i bez uderzeń, ponieważ częstotliwości rzeczywiście dzielą proste relacje matematyczne, które odpowiadają przetwarzaniu harmonicznemu słuchu. Problem polega na tym, że skala strojenia w ten sposób w jednej tonacji brzmi subtelnie, a czasem źle, poza nutą w innej tonacji, ponieważ dokładne proporcje, które sprawiają, że C-dur brzmi pięknie, nie przenoszą się czysto do F#-dur.

Stosunek równowyźny: równomierne rozprzestrzenianie się błędów

System dwunastotonowy (12-TET), standardowe strojenie niemal wszystkich współczesnych instrumentów zachodnich, omija cały problem, porzucając całkowicie czyste proporcje i zamiast tego dzieląc oktawę na dwanaście matematycznie identycznych stopień:

stosunek semitonu = 2^(1/12) ≈ 1.059463 częstotliwość nuty n semitonów powyżej odniesienia: f(n) = f0 · 2^(n/12) stosunek równowyźny tercji = 2^(7/12) ≈ 1.49831 (w porównaniu z czystym 3:2 = 1.5 – około 2 centów za mocno) stosunek równowyźny tercji durowej = 2^(4/12) ≈ 1.2599 (w porównaniu z czystym 5:4 = 1.25 – około 14 centów za ostro) Żaden interwał w stosunku równowyźnym nie jest idealnie czysty, oprócz kwarty własnej — wszystkie tercje, piąte i szóste są bardzo lekko detonalizowane od ich idealnego małego proporcji wersji, ale kluczowe jest to, że każdy interwał jest detonalizowany o dokładnie tę samą wartość w każdym kluczu, co sprawia, że pianoforte brzmi równie (nie)idealnie, niezależnie czy grasz w C-dur, czy w F#-dur. Ta jednolitość jest właśnie tym, co czyni swobodne modulacje między kluczami i instrumenty o stałym stroju, takie jak pianoforte, praktycznymi.

semitone ratio = 2^(1/12) ≈ 1.059463

frequency of note n semitones above a reference:  f(n) = f0 · 2^(n/12)

equal-tempered fifth = 2^(7/12) ≈ 1.49831   (vs. pure 3:2 = 1.5 — about 2 cents flat)
equal-tempered major third = 2^(4/12) ≈ 1.2599   (vs. pure 5:4 = 1.25 — about 14 cents sharp)

Rodzaje skali: które z dwunastu dźwięków zachować

Równoległe brzmienie daje w oknie jedenastu półtonów na oktawę; skala następnie wybiera podzbiór i wzorzec kroków pomiędzy nimi. Skala durowa przestrzega wzorca kroków: cały-cały-półstopień-cały-cały-cały-półstopień (W-W-H-W-W-W-H); jej naturalna mniejsza skala względna używa tych samych siedmiu nut, zaczynając od szóstej stopni, dając wzorzec W-H-W-W-H-W-W. Skale pentatoniczne (pięć nut, powszechne w niezliczonych tradycjach muzycznych na całym świecie) całkowicie pomijają dwa półtonowe odstępy skali durowej; to właśnie dlatego melodie pentatoniczne rzadko produkują brzmienie ostre lub nie rozwiązane, niezależnie od kolejności, w jakiej są grane – nie ma potrzeby unikać kolizji półtonowych.

Centy: pomiar rozbieżności między systemami

Aby precyzyjnie porównać strojenie instrumentów, muzycy używają centów – jednostki logarytmicznej, w której jeden ton oequal temperamentu jest zdefiniowany jako dokładnie 100 centów, a oktawa to 1200 centów. Wzór centy = 1200 · log2(f2/f1) konwertuje dowolny stosunek częstotliwości na tę powszechnie używaną skalę, dzięki czemu otrzymujemy dokładne i porównywalne wartości – np. około 23,46 centów dla kompy Pythagorowej lub tonika w równolepłowym ujemnym o około 2 centy w stosunku do czystego 3:2 – dla odchyleń, które w przeciwnym razie byłyby niezręcznymi małymi ułamkami.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Musical Scales i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.