Krzywe trójwymiarowe Lissajoua: Harmoniczne Nici w Ruchu

Trzy oscylatory, jedna krzywa

Krzywa trójwymiarowa Lissajoua to figura, którą uzyskujesz na oscyloskopie, gdy napędzasz płyty poziome falą sinusoidalną i płyty pionowe inną: x = A·sin(at + δx), y = B·sin(bt + δy). Krzywa trójwymiarowa Lissajoua dodaje trzecią, niezależną oscylatora w osi głębokości, więc punkt rysuje ścieżkę na powierzchni bloku o rozmiarach 2A×2B×2C:

x(t) = A · sin(a·t + δx) y(t) = B · sin(b·t + δy) z(t) = C · sin(c·t + δz) Każda osa jest niezależnym oscylatorem harmoniczno-prostokątnym o własnej częstotliwości (a, b, c) i przesunięciu fazowym (δx, δy, δz). Schemat widoczny zależy tylko od stosunków a:b:c i różnic fazowych — skala A, B i C po prostu zmienia rozmiar otaczającego bloku.

x(t) = A · sin(a·t + δx)
y(t) = B · sin(b·t + δy)
z(t) = C · sin(c·t + δz)

Dlaczego potrzebne są ułamkowe proporcje

Jeśli a, b i c są całkowitymi wielokrotnościami pewnej podstawowej częstotliwości — komensurabilnymi — cała system jest okresowa i krzywa zamyka się na sobie po skończonym czasie, najmniejszym wspólnym wielokrotnością trzech indywidualnych okresów. Przy 3:2:1 proporcji, np., krzywa zamknie się po tym, jak naj wolniejsza oscylator wykona dokładnie jedną fazę, a naj szybsza — trzy fazy.

Jeśli dowolna para częstotliwości ma nieprzecinkową proporcję, krzywa nigdy dokładnie się nie powtórzy. Zawodzi jakby nieprzecinkowa rotacja na torusie: w nieskończonym czasie obraca się tak gęsto, że przechodzi niezależnie od blisko każdego punktu powierzchni ograniczającej, bez nigdy ponownego powtórzenia poprzedniej ścieżki. To samo zachowanie ergodyczne występuje w niokresowych orbitach i w teorii KAM dla prawie-integrowalnych systemów Hamiltona — 3D krzywa Lissajou geometrycznie jest torusem 3-wymiarowym w koordynatach fazowych i akcji.

Przesunięcia fazowe i węzły lissajouowskie

W 2D zmiana przesunięcia fazowego przekształca figura ośmiokątna w elipsę, a następnie w okrąg bez dotyku częstotliwości. W 3D przesunięcia fazowe działają bardziej bogato: dla odpowiednich proporcji wymiernych i ogólnych faz, zamknięta krzywa staje się prawdziwy węzeł lissajouowski — matematyczny węzeł (trójliscie, węzły ośmiokątne itp.) parametryzowany całkowicie trzema sinusoidami. Nie każda proporcja tworzy węzeł; niektóre dają niewęzłowy pętlę, a inne wielu oddzielnych zamkniętych krzywych. Teoretiści węzłów takie jak Bogle, Hearst i Jones katalogizowali, które małe proporcje wymierne i kombinacje faz prowadzą do odpowiednich typów węzłów, a węzły lissajouowskie pozostają standardowym sposobem generowania jasnych, gładkich parametryzacji inaczej złożonych węzłów.

Renderowanie: projekcja i głębokość

Krzywa trójwymiarowa stała się widoczna tylko po jej projekcji na powierzchnię dwuwymiarową ekranu. W tej symulacji punkt cloud jest obracany za pomocą standardowej macierzy rotacyjnej 3×3, a następnie podlega prostej projekcji ortograficznej lub słabo perspektywicznej, po czym odrzuca się współrzędną głębokości, używając jej do zmiany jasności każdego punktu:

// obrót wokół osi Y, a następnie X, a następnie projekcja const xr = x * cos(ry) + z * sin(ry); const zr = -x * sin(ry) + z * cos(ry); const yr = y * cos(rx) - zr * sin(rx); const screenX = cx + xr * scale; const screenY = cy + yr * scale; const brightness = map(zr, -C, C, 0.3, 1.0); // podświetlenie na podstawie głębokości Przewijanie sceny obraca rx i ry w czasie rzeczywistym, co często jest jedyną metodą wykrycia prawdziwej nici od tych, które tylko wyglądały zagnieżdżonymi z jednego ustalonego kąta — lina, która wydaje się przecinać się w projekcji, może przeprowadzić się plynnie przed lub za inną linię na rzeczywistym 3D trasie.

// rotate around Y then X, then project
const xr = x * cos(ry) + z * sin(ry);
const zr = -x * sin(ry) + z * cos(ry);
const yr = y * cos(rx) - zr * sin(rx);
const screenX = cx + xr * scale;
const screenY = cy + yr * scale;
const brightness = map(zr, -C, C, 0.3, 1.0);  // depth shading

Od oscyloskopów do odbijaczy oświetlania

Wersja dwuwymiarowa tego wzoru jest stuletnim trikem pomiarowym: podłącz dwa sygnały do wejść X i Y oscyloskopu, a ekran narysuje stałą formę w chwili, gdy częstotliwości osiągną prostą proporcję — pojedynczy pętlę dla 1:1, figury o siedmiu końcach dla 2:1 — pozwalając czytać częstotliwości i różnice fazowe tylko wzrokiem, bez potrzeby używania układu liczącego. Te same matematyki powtarzają się w odbijaczach dwuwymiarowych MEMS wykorzystywanych w projektorach laserowych, mikroskopach konfokalnych i niektórych systemach LIDAR: sterowanie obiema osiami odbijacza dwiema ustalonymi, dobrze wybranymi częstotliwościami tworzy ścieżkę Lissajoua, która przebiera całą obszar widzenia bez potrzeby używania wolnego i mechanicznie trudnego rastera, z kosztem nieuniformnej, gęstszej w rogu próbkowania, który musi być uwzględniony przez oprogramowanie rekonstrukcyjne.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz 3D Lissajous Curves — Harmonic Knots i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.