Przepływ Lattice-Boltzmann: Dynamika Płynów z Teorii Kinetycznej

Przejście mezoskalowe wokół równań Naviera-Stokesa

Większość kodów obliczeniowej dynamiki płynów atakuje równania Naviera-Stokesa bezpośrednio: dyskretyzują pola makroskopowe – gęstość ρ, prędkość u, ciśnienie p – na siatce i posuwają je do przodu, co zwykle wymaga globalnego rozwiązania Laplace'a dla utrzymania zgodności z warunkiem wyporu ciśnienia co krok, aby utrzymać przepływ bez rozbieżności. Metoda Boltzmanna Latticzną (LBM) podąża zupełnie inną ścieżką, inspirowaną teorią kinetyczną: zamiast pól makroskopowych, śledzi populacje fikcyjnych cząstek przemieszczających się między sąsiednimi komórkami siatki i kolidujących lokalnie. Gęstość i prędkość odzyskuje się następnie jako proste sumy – zachowanie płynu nie jest narzucone, a ono wyłania się.

Kontynuacja równania Boltzmanna w postaci ciągłej, ∂f/∂t + ξ·∇f = Ω(f), dzieli ewolucję płynów na termin strumieniowy (cząstki poruszające się swobodnie) i termin kolizyjny Ω, który wypycha rozkład f z powrotem w kierunku równowagi lokalnej. Kluczową sztuczką LBM jest dyskretyzacja zarówno przestrzeni, jak i prędkości jednocześnie: przestrzeń staje się regularną siatką, a ciągły przestrzeń prędkości skumuluje się do niewielkiej liczby ustalonych kierunków na węźle. Pomimo drastycznego uproszczenia, rozwinięcie Chapman-Enskog pokazuje, że uzyskane aktualizacje odzyskuje inkompresybilne równania Naviera-Stokesa drugiego rzędu względem liczby Macha.

D2Q9 – dziewięć kierunków na węźle

Najpopularniejszą siatką 2D nazywa się D2Q9: 2 wymiary, 9 dyskretnych kierunków prędkości na węźle – osiem kierunków kompasowych oraz pozostanie bez ruchu. Każdy z tych kierunków ma przypisany współczynnik, który zapewnia, że siatka poprawnie oddaje momenty masy i pędu ciągłej dystrybucji równowagi:

e0=(0,0) rest              w0 = 4/9
e1..4 = axis-aligned N/E/S/W    w1..4 = 1/9
e5..8 = diagonal NE/NW/SE/SW    w5..8 = 1/36

// Σ w_i = 1  → conserves mass
// speed of sound on the lattice: c_s² = 1/3

Kolizja, następnie strumień

W każdym kroku czasowym odbywa się dokładnie dwie rzeczy w każdym węźle. Po pierwsze, kolizja: każda z dziewięciu populacji f_i relaksuje się w kierunku wartości stanu równowagi lokalnej f_i^eq, ustalanej przez czas relaksacji τ — aproksymacja BGK (Bhatnagar-Gross-Krook), która zastępuje pełny całunek kolizji pojedynczą, liniową relakcją:

f_i* = f_i − (1/τ) · (f_i − f_i^eq) // kolizja f_i^eq = w_i · ρ · [1 + 3(e_i·u) + 4.5(e_i·u)² − 1.5·u²] kinematyczna lepkość: ν = (τ − 0.5) / 3 // τ ustawia lepkość bezpośrednio Po drugie, strumień: każda populacja f_i* po kolizji jest przesuwana dokładnie o jedno komórkę w jej własnym kierunku e_i, więc f_i(x + e_i, t+1) = f_i*(x, t). Krok kolizji jest całkowicie lokalny — każdy węzeł aktualizuje się niezależnie od sąsiadów, używając tylko swoich dziewięciu liczb — podczas gdy strumień potrzebuje jedynie danych pierwszego sąsiada. Ta lokalność jest właśnie powodem, dla którego LBM dobrze paralelizuje się na GPU: nie ma globalnego układu liniowego do rozwiązania w każdym punkcie pętli.

Czas relaksacji τ musi pozostać powyżej 0.5, aby zapewnić stabilność, a w praktyce prędkość bezwzględna |u|/c_s powinna również pozostawać komfortowo poniżej około 0.3 — przekroczenie któregokolwiek z tych limitów powoduje, że założenie o niskiej prędkości leżące u podstaw całego schematu ulega naruszeniu i symulacja się zawala.

f_i* = f_i − (1/τ) · (f_i − f_i^eq)         // collision

f_i^eq = w_i · ρ · [1 + 3(e_i·u) + 4.5(e_i·u)² − 1.5·u²]

kinematic viscosity:  ν = (τ − 0.5) / 3      // τ sets viscosity directly

Odzyskiwanie gęstości i prędkości

Makroskopijne wielkości, które użytkownik w rzeczywistości obserwuje – gęstość i prędkość – to jedynie momenty z dziewięciu populacji znajdujących się na węźle, obliczone w jednym kroku przetworzenia lokalnych danych:

ρ(x,t) = Σ_i f_i(x,t) // zeroth moment: masa ρ·u_x(x,t) = Σ_i f_i(x,t) · e_ix // first moment: pęd ρ·u_y(x,t) = Σ_i f_i(x,t) · e_iy

ciśnienie (forma idealnego gazu, jednostki siatki): p = ρ·c_s² = ρ/3 Granice stałe wykorzystują najprostszy dostępny trik z odbijaniem – populacja przyjeżdżająca do węzła granicy jest odrzucana prosto w tym samym kierunku, z którego przyszła, co za pomocą jedynie operacji lokalnych reprodukuje zerową prędkość na granicy. Wloty i wyloty o zadanym ciśnieniu lub prędkości używają bardziej skomplikowanego schematu Zou-He, który analitycznie rozwiązuje nieznane populacje przychodzące do granicy.

ρ(x,t)    = Σ_i f_i(x,t)              // zeroth moment: mass
ρ·u_x(x,t) = Σ_i f_i(x,t) · e_ix       // first moment: momentum
ρ·u_y(x,t) = Σ_i f_i(x,t) · e_iy

pressure (ideal-gas form, lattice units): p = ρ·c_s² = ρ/3

Jak symulacja tutaj z niego korzysta

Symulacja na tym koncie uruchamia pełny cykl collide-stream na siatce D2Q9 każdego klatka, z solidnym przeszkoda umieszczoną w jednorodnym przepływie i odbijaniu się od jej brzegu. Przy umiarkanej rozdzielczości siatki cały pętla — kolizja, strumieniowanie, obsługa granic i renderowanie kolorów zależne od prędkości — działa komfortowo z 60 fps w prostym JavaScript-ie na tablicach typowych; nie jest potrzebny żaden przekaz obliczeniowy WebGL, dopóki siatka się nie zrobi znacznie większa. Obserwuj przepływ przy umiarkowanym liczbie Reynoldsa i zobaczysz klasową uliczkę Kármána pojawiającą się za przeszkodą — zamienne wiry odrywające się, całkowicie jako konsekwencja tego samego lokalnego prawa kolizji działającego na każdym węźle, bez gdziekolwiek napisanej logiki zrzutu wirów w kodzie.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.