Rössler атractor

Kwadratyczna mapa z dwoma parametrami

W 1976 roku astronom Michel Henon poszukiwał najprostszego systemu, który by odtwarzał dziwaczny atraktor Edwarda Lorenza znaleziony w jego modelu pogodowym opartego na czasie ciągłym, ale w postaci dyskretnej mapy, która byłaby tańsza do iteracji i łatwiejsza do analizy. Osiągnął to poprzez:

x_następne = 1 - a*x^2 + y y_następne = b*x

Z klasycznymi wartościami parametrów a = 1,4 i b = 0,3, iterując tę parę równań z niemal każdego punktu początkowego, po kilku pierwszych transitorowych krokach otrzymuje się skomplikowaną zakrzywioną wstęgę, która nigdy nie zamyka się sama ze sobą i nigdy nie powtarza – atraktor Henona. Mapa jest odwracalna (można rozwiązać równanie dla poprzedniego punktu na podstawie obecnego), kurczącą powierzchnię zamiast zachowującej ją, a jej wyznacznik macierzy to stała -b, dlatego atraktor ma zerową powierzchnię, mimo że żyje w dwuwymiarowej płaszczyźnie.

x_next = 1 - a*x^2 + y
y_next = b*x

Rozciągaj, składaj, powtarzaj

Wyraz ten – człon kwadratowy -a*x^2 – powoduje rozciąganie: punkty blisko siebie, o różnych wartościach x, są przesuwane od siebie różnymi ilościami, co prowadzi do wykładniczego powiększania odstępów między początkowo zbliżonymi orbitami – cechy pozytywnego współczynnika Lyapunov charakterystycznej dla układów chaotycznych. Natomiast człon liniowy b*x składa ten rozciągnięty pasek z powrotem w ograniczony obszar na kolejnym kroku. Powtarzaj ten cykl rozciągania i składania tysiące razy, a pasek jest tak wielokrotnie składany na siebie, że, przy dużym powiększeniu, można ponownie zauważyć tę samą strukturę złożoną w mniejszej skali: atraktor ma wymiar fraktalny (nie całkowitą) – zmierzony dla klasycznych parametrów, wynosi około 1.26 – więcej niż linia, mniej niż obszar wypełniony.

Wrażliwość na stan początkowy, ujawniona

Ponieważ mapa rozciąga odległości w jednym kierunku i skurcza je w innym, dwa punkty, które rozpoczynają się w odległości milionowej jednostki, rozbiegają się do zupełnie różnych trajektorii w ciągu kilkudziesięciu iteracji, mimo że ostatecznie oba ścierają ten sam ogólny kształt atraktora. To jest praktyczne znaczenie chaosu deterministycznego: zasada jest całkowicie deterministyczna (nie ma tam żadnej losowości w równaniach) i jednak długoterminowe przewidywanie orbity jakiegokolwiek punktu jest niemożliwe bez nieskończenie precyzyjnej wiedzy o punkcie początkowym, ponieważ błąd zaokrąglenia rośnie wykładniczo pod wpływem iteracji.

Dlaczego ta mapa nadal ma znaczenie

Mapa Henona stała się standardowym modelem do map atrakcyjności dziwacznych właśnie z powodu swojej niskiej kosztów obliczeniowych (dwa mnożenia, dwie dodawania na krok), a jednocześnie wykazuje zasadniczo wszystkie cechy jakościowe znacznie droższych ciągłych przepływów: skończony, niezmienniczy zbiór fraktalny, pozytywne wykłady Lyapunov i gęsto osadzonych wewnątrz chaotycznej atrakcji okresowych orbit stabilnych i niestabilnych. Pozostaje standardowym placem zabaw dla technik numerycznych – szacowania wymiaru fraktala, obliczania wykładów Lyapunov, znajdowania okresowych orbit – ponieważ jej dokładna, zamknięta iteracyjna reguła pozwala badaczom sprawdzić odpowiedź metody numerycznej w odniesieniu do rzeczywistości.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Henon Map i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.