Przemiana Fouriera i Dźwięk

Funkcje sinusoidalne i domena częstotliwości

Czysty ton o częstotliwości f jest funkcją sinusoidalną, x(t) = A·cos(2πft+φ). Transformata Fouriera rozkłada dowolny sygnał na dokładnie złożone wyznaczniki eksponencjalne, które go składają:

X(f) = ∫ x(t)·e^(-i2πft) dt // analiza: sygnał → spektrum x(t) = ∫ X(f)·e^(+i2πft) df // synteza: spektrum → sygnał |X(f)|² = gęstość mocy w częstotliwości f

Próbki cyfrowej audio tego ciągłego sygnału z podaną stałą częstotliwością f_s – 44,100 Hz dla CD. Zgodnie z twierdzeniem Nyquista-Shannona, ograniczony pasmowo sygnał można idealnie odtworzyć z próbek pobranych szybciej niż podwójna jego najwyższa częstotliwość; przy 44,1 kHz obejmuje to częstotliwości do 22,050 Hz, pokrywając całą zakres słyszalną.

X(f) = ∫ x(t)·e^(−i2πft) dt          // analysis: signal → spectrum
x(t) = ∫ X(f)·e^(+i2πft) df          // synthesis: spectrum → signal
|X(f)|² = power spectral density at frequency f

Rozdzielna Transformata Dwukierunkowa

Dany N próbek x[0]…x[N−1], DFT produkuje N wartości złożonych w dzymiennej domenie częstotliwości, gdzie bin k odpowiada fizycznej częstotliwości f_k = k·f_s/N:

X[k] = Σ_(n=0)^(N-1) x[n]·e^(−i2πkn/N),  k = 0…N−1
// computed directly: O(N²) — unusably slow for N ≥ 4096

Kołtunowy algorytm FFT Cooleya i Tukeya

Kluczowa sztuczka (Cooley & Tukey, 1965; również odkryta przez Gauss’a w 1805 roku) polega na podzieleniu długości DFT o długości N na dwie DFT o długości N/2 dla próbek parzystych i nieparzystych indeksów, a następnie ich ponownym połączeniu przy użyciu "czynnika twiddlowego":

X[k] = E[k] + W_N^k · O[k] X[k+N/2] = E[k] − W_N^k · O[k] E[k] = DFT próbek parzystych indeksów, O[k] = DFT próbek nieparzystych indeksów W_N^k = e^(−i2πk/N) // czynnik twiddlowy Zastosowany rekurencyjnie w log₂N etapach kombinacji "motylkowych" o rozmiarze N/2, kosztuje O(N log₂N) zamiast O(N²) – co daje przyspieszenie 682-krotne przy N = 4096. W praktyce wejściowe jest najpierw odwrócone bitowo, a następnie ten sam rdzeń motylkowy działa etapami.

X[k]       = E[k] + W_N^k · O[k]
X[k+N/2]   = E[k] − W_N^k · O[k]
  E[k] = DFT of even-indexed samples,  O[k] = DFT of odd-indexed samples
  W_N^k = e^(−i2πk/N)                  // twiddle factor

Okienkowanie i spektrogram

DFT (przemiana dyskreta Fouriera) implikuje, że analizowany blok jest okresowy; nagle odcięty blok odpowiada mnożeniu przez okno prostokątne, którego spektrum to szeroka sinca, powodująca wyciek energii do sąsiednich binów. Okienkowanie za pomocą stopniowanego okna (np. Hann, Hamminga, Blackmana-Harris) tłumi ten wyciek kosztem nieco szerszych głównych pasm obrzynkowych. Przesuwanie zwindowowanej DFT w oknach nakładających się na siebie po sygnale daje transformatę krótkotrwałą Fouriera; jej wykres magnitudo jako funkcja czasu-częstotliwości-intensywności generuje spektrogram, gdzie nuty muzyczne pojawiają się jako poziome linie, a formanty mowy jako pionowe pasmo.

Od binów do rzeczywistych zastosowań

Detekcja tonów w rozpoznaje podstawową częstotliwość z największą amplitudą; kompresja audio (MP3, AAC) usuwa składniki częstotliwościowe, które ludzkie ucho nie jest w stanie usłyszeć dzięki maskowaniu psychoakustycznemu; spektrogram melowy – zniekształcający oś częstotliwości, aby dopasować do ludzkiego postrzegania tonów – jest standardowym reprezentacją wejściową dla modeli mowy takich jak Whisper. Wszystko to prowadzi się do tej samej sieci motylkowej Cooley’ego-Tukeya.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.