Teoria gier ewolucyjnych: dlaczego populacje osiągają równowagę, a nie jednostki

Strategie jako populacje, a nie gracze

Klasyczna teoria gier pyta, co powinien zrobić pojedynczy racjonalny gracz. Teoria gier ewolucyjnych, rozwijana głównie przez Johna Maynarda Smitha i Georga Price'a w pierwszej połowie lat 70. wieku, pyta inaczej: jeśli cała populacja jednostek nosi zdefiniowane, dziedziczne strategie, a lepiej oceniane strategie mnożą się szybciej, które strategie przetrwają? Nie ma tu racjonalności, przewidywań ani nauki - potrzebne jest tylko różnicowe mnożenie, dokładnie tak jak w zwykłej ewolucji naturalnej. Strategia, która uzyskuje wysoką ocenę względem innych strategii obecnie dominujących, zostawia więcej swoich kopii w kolejnym pokoleniu, a zmienna mieszanka strategii populacji odzwierciedla to.

Hawk-Dove: dlaczego agresja nie zastępuje wszystko

Klasycznym przykładem jest gra Hawk-Dove, modelująca konflikt zwierząt o zasób. Gwiazdka zawsze eskaluje do walki; Delfin zawsze pokazuje i cofa się, jeśli przeciwnik eskaluje. Jeśli dwa Delfiny spotykają się, dzielą zasób spokojnie. Jeśli Gwiazda spotyka Delfina, Gwiazda bierze cały zasób. Jeśli dwie Gwiazdy spotykają się, walka trwa, a zwycięzca bierze zasób, ale porażony ponosi rzeczywiste koszty rannego.

wynagrodzenie gracza wierszowego, wartość zasobu V, koszt ran C (C > V): przeciw Gwiazdzie przeciw Delfinowi Gwiazda: (V-C)/2 V Delfin: 0 V/2 Jeśli C > V, cała populacja Gwiazd jest niestabilna: każda walka między dwiema Gwiazdami kosztuje więcej (o ile chodzi o oczekiwane ranę) niż wartość zasobu, więc rzadki mutant Delfina, który unika wszystkich walk, w średnim aspekcie wykazuje się lepiej od otaczających Gwiazd i może zagrozić. Ale cała populacja Delfinów jest również niestabilna, ponieważ pojedynczy mutant Gwiazdy zwycięża bez przeciwnika. Populacja zamiast tego osiąga mieszane równowagę – pewien procent grywa jako Gwiazda, a reszta jako Delfin – gdzie obie strategie zarabiają dokładnie tyle samo średnio, więc żadna z nich nie może skutecznie wzrosnąć ani zmniejszyć. To jest stabilna w ewolucji strategia (ESS): kombinacja strategii, której niestabilne mutacje nie mogą zagrozić.

payoff to row player, resource value V, injury cost C  (C > V):
              vs Hawk           vs Dove
Hawk:      (V-C)/2               V
Dove:         0                 V/2

Dinamika replikatora: równanie za animacją

Matematyczny silnik sterujący tych populacji w kierunku swojego punktu równowagi ESS to równanie replikatora. Jeśli x_i jest ułamkiem populacji zastosowującym strategię i, a f_i(x) to nagroda tej strategii w zależności od bieżącej kombinacji strategi, to udział strategii i wzrasta dokładnie proporcjonalnie do tego, o ile lepiej ona działa niż średnia populacji:

dx_i/dt = x_i * (f_i(x) - f_srednia(x)) x_i bieżąca częstotliwość strategii i f_i(x) nagroda dla strategii i przeciwko bieżącej kombinacji strategi f_srednia średnia nagroda dla całej populacji Strategia, która przewyższa aktualną średnią, rośnie; jedna, która jest nieudanej, zmniejsza się; a strategia dokładnie równa się średniej pozostaje stała – co dokładnie spełnia warunek w punkcie ESS, gdzie każda obecna strategia wygrywa tę samą nagrodę i bieżąca kombinacja strategi przestaje się zmieniać.

dx_i/dt = x_i * (f_i(x) - f_avg(x))

x_i      current frequency of strategy i
f_i(x)   payoff to strategy i against the current population mix
f_avg    average payoff across the whole population

Zdumiewający przypadek więźnia: dlaczego zdrada nadal może stracić w lokalnym kontekście

W jednorazowej grze więźnia, zdrada jest strategią dominującą dla każdego gracza, niezależnie od tego, co robi przeciwnik. W takiej sytuacji populacja ewolucyjna zmienna w czasie zbiega się całkowicie do zdrady — współpraca nie może przeżyć, gdy każda para jest przeciwko losowi znajomemu. Przepisanie tej gry na siatkę przestrzenną, gdzie jednostki mogą interagować tylko z sąsiadami, zmienia wynik: kooperatorzy, którzy przypadkowo tworzą grupy, głównie interagują ze sobą, dzieląc się wynikiem za pośrednictwem wzajemnej współpracy i przewyższając izolowanego zdrajcę siedzącego na krawędzi grupy, który szybko wykorzystuje ostatnie naiwnie kooperatywne jednostki. Ta przestrzenna wzajemność jest jedną z kilku dobrze badanych mechanizmów (wspólne są to powtórzone interakcje i renomę), które mogą utrzymać współpracę, mimo indywidualnego motywu do zdrady.

Kamień-Papier-Nożyce: gdy nic się nie utrzymuje na miejscu

Nie każdy gracz ma punkt stabilny. W payofach kamienia-papier-nożyca, każda strategia zwycięża jedno i przegrywa z innym w pełnym cyklu, więc żadna kombinacja częstotliwości nie spełnia warunku ESS (Evolutionarily Stable Strategy) polegającego na równych wynikach jednocześnie dla wszystkich trzech. Uruchamianie równania reprezentatora na payofach kamienia-papier-nożyca zamiast tego produkuje ciągły cykl -- kamień wzrasta, podczas gdy nożyce są powszechnymi, papier wzrasta, aby przeciwstawić się wzrostu kamienia, nożyce wzrastają, aby przeciwstawić się papierowi, a ten cykl powtarza się nieskończenie, albo jako zamknięta orbita (z dodanym szumem lub strukturą przestrzennej) jako wędrownych spiralowych fal dominującej strategii na siatce. Biologiczne systemy rzeczywiste z cykliczną dominacją, takie jak trzy morfotropy strategy materyjne u żaba boczno-plamisty, pokazują dokładnie taki sam rodzaj nieskończonego cyklu nieequlibrarnego.

Często zadawane pytania