Wartości własne i wektory własne: Kierunki, w których macierz odmawia obracania

Kolos staje się elipsa

Weź jednostkowy kolos — każdy punkt jest dokładnie odległy o jednostkę od początku układu współrzędnych — i zastosuj dowolne macierze 2×2 do każdego z nich. Wynik zawsze jest elipsą (w przypadku szczególnym może stać się linią). To naprawdę niebanalny fakt geometryczny: dowolna liniowa transformacja w teorii mogłaby w praktyce wygenerować wiele różnych kształtów, ale liniowość ogranicza ją tak bardzo, że obraz kolosa jest dowodowo zawsze elipsą, niezależnie od wybranego przez Ciebie macierzy. Wartości własne i wektory własne są precyzyjnym językiem opisującym dokładnie, która elipsa zostanie otrzymana.

Kierunki, które się nie obracają

Wektor ogólny przekształcony przez macierz zmienia zarówno długość, jak i kierunek — obraca się oraz rozciąga się. Wektory własne są wyjątkiem: to niezerowe kierunki, które podczas transformacji tylko skali, nigdy nie obracają się poza swoją linię. Przeciwstawny czynnik skali dla tego konkretnego kierunku jest wartością własną:

A · v = λ · v A = macierz (transformacja) v = wektor własny (niezerowy; kierunek, nie długość specyficzna) λ = odpowiadająca mu wartość własna (skalator wzdłuż tego kierunku) Dla ogólnego 2×2 macierza istnieje (w ogólności) dokładnie dwa niezależne kierunki wektorów własnych, a — to geometryczny zysk — są one dokładnie osiami elipsy, którą jednostkowa okrąg po przekształceniu śledzi. Wartości własne są półosiami tej elipsy: dłuższa oś ma długość równą wartości absolutnej większej wartości własnej, a krótsza oś — mniejszej. Punkt początkowy na jednostkowym okręgu w kierunku wektora własnego kończy się dokładnie na końcu odpowiadającej mu osi elipsy; każdy inny punkt na okręgu znajduje się gdzieś na krzywej granicy elipsy, obracając się oraz rozciągając.

A · v = λ · v

A = the matrix (the transformation)
v = an eigenvector (nonzero; a direction, not a specific length)
λ = the corresponding eigenvalue (the stretch factor along that direction)

Znajdowanie ich: równanie charakterystyczne

Przekształcenie równania Av = λv na postać (A - λI)v = 0 pokazuje, że istnieje niezerowe rozwiązanie v tylko wtedy, gdy macierz A - λI jest osobliwa — jej wyznacznik musi być równy zero. Dla macierzy 2×2 to daje kwadratową funkcję w zmiennych λ, czyli równanie charakterystyczne:

A = [[a, b], [c, d]] det(A - λI) = 0 (a-λ)(d-λ) - bc = 0 λ² - (a+d)·λ + (ad-bc) = 0 czyli λ² - ślad(A)·λ + wyznacznik(A) = 0 λ = [ ślad(A) ± sqrt( ślad(A)² - 4·wyznacznik(A) ) ] / 2 Dwa pierwiastki tego równania kwadratowego to dwa wartości własne, obliczalne z tylko śladu (sumy elementów na przekątnej) i wyznacznika macierzy — nie ma potrzeby pracować nad poszczególnymi elementami po znalezieniu tych dwóch liczb. Po otrzymaniu wartości własnej λ, podstawienie jej z powrotem do równania (A - λI)v = 0 i rozwiązanie względem v daje kierunek odpowiadającego wektora własnego.

A = [[a, b], [c, d]]

det(A - λI) = 0
(a-λ)(d-λ) - bc = 0
λ² - (a+d)·λ + (ad-bc) = 0        i.e.  λ² - trace(A)·λ + det(A) = 0

λ = [ trace(A) ± sqrt( trace(A)² - 4·det(A) ) ] / 2

Gdy deltata jest ujemna: zwrot wygrywa

Deltata pod pierwiastkiem, trace(A)² - 4·det(A), może być ujemna — a kiedy tak jest, wartości własne są pary sprzężonych liczb zespolonych zamiast dwóch liczb rzeczywistych. Geometycznie to dzieje się dokładnie wtedy, gdy transformacja jest dominowana przez zwrot: macierz 90° zwrotna, na przykład, nie ma żadnych wektorów własnych rzeczywistych, ponieważ każdy rzeczywisty wektor płaszczyzny rzeczywiście zostaje obrócony — nie ma takiej kierunku, który mógłby pełnić rolę osi. W tym zakresie obraz „elipsy trawnącej się krzywej jednostkowej” nadal technicznie jest prawidłowy (zwrot mapuje okrąg jednostkowy na siebie), ale intuicyjna historia o rzeczywistych osiach rozciągania rozbiera się, a zamiast nich wartości własne zespolone zawierają informacje o kącie zwrotu oraz dowolnym przeskalowaniu towarzyszącym.

Macierze simetryczne: zawsze rzeczywiste, zawsze prostopadłe

Jedna szczególna sytuacja ma niezwykle duży znaczenie w praktyce: jeśli macierz A jest symetryczna (b = c), twierdzenie spektralne gwarantuje, że jej wartości własne są zawsze rzeczywiste i wektory własne są zawsze mutucznie prostopadłe, bez wyjątku. To dokładnie sytuacja w Analizie Wynajętych Komponentów (PCA): macierz kowariancji zbioru danych jest symetryczna na podstawie konstrukcji, więc jej wektory własne — komponenty wynajęte — tworzą zestaw prostopadłych osi wskazujących w kierunkach największej i najmniejszej wariancji w danych, a wartości własne są równe ilości wariancji zastanowionej po każdej z nich. Jest to taka sama obraz elipsy i osi jak w ogólnym przypadku 2×2, tylko stosowana do rozproszenia chmury danych zamiast okręgu jednostkowego, dlatego PCA często wprowadza się wizualnie jako „zamieśc elipsę najlepiej na Twoje dane i odczytaj jej osie".

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Eigenvalues and Eigenvectors: The Directions a Matrix Refuses to Rotate i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.