Simulating Quantum Entanglement

Najprostsza obwódka wykazująca chaotyczność

Już na początku lat 80. chaotyczność była dobrze ugruntowana w matematyce – równania Lorenz’a, mapa logistyczna – jednak każdy układ chaotyczny z realnym odzwierciedleniem fizycznym był albo zbyt złożony do czystego analizowania, albo brakowało mu rygorystycznego dowodu, że rzeczywiście jest chaotyczny, a nie po prostu skomplikowany. W 1983 roku Leon Chua podjął się zaprojektowania najprostszej możliwej obwódki elektronicznej, która mogłaby zostać udowodniona jako chaotyczna, i ją zbudował. Obwód Chua wykorzystuje dwa kondensatory, jeden cewkę, jeden rezystor liniowy oraz jeden celowo nieliniowy element, obecnie nazywany diodą Chui – łącznie pięć komponentów.

Trzy równania

Stan obwodu – napięcia na dwóch kondensatorach i prąd przez cewkę – jest opisany trzema sprzężonymi różniczkami zwykłymi w zmiennych bezwymiarowych x, y i z:

dx/dt = α (y - x - f(x)) dy/dt = x - y + z z/dt = -β y

f(x) = m1·x + 0.5·(m0 - m1)·(|x + 1| - |x - 1|) ← dioda Chua

Wszystko nieliniowe w układzie skoncentrowane jest w tej jednej funkcji f(x), czyli diode Chua: element o ujemnym rezystancji, podzielony na odcinki liniowe, a nie ciągłą krzywą. Można go zbudować z dwóch wzmacniaczy operacyjnych i kilku rezystorów, co oznacza, że obwód Chua nie jest jedynie zestawem równań na stronie – to obwód, który można zmontować na płytce stykowej i zmierzyć jego chaotyczność oscyloskopem, w odróżnieniu od układu Lorenza, pochodzącego z konwekcji płynów i nie mającego prostej, bezpośredniej realizacji elektronicznej.

dx/dt = α (y - x - f(x))
dy/dt = x - y + z
dz/dt = -β y

f(x) = m1·x + 0.5·(m0 - m1)·(|x + 1| - |x - 1|)     ← the Chua diode

Podwójny spiralny tor

Układ Chua'owskiego z trzema liniowymi segmentami tworzy przestrzeń stanów podzieloną na trzy obszary, każdy z własnymi lokalnie liniowymi dynamikami i własnym punktem równowagi. Najbardziej znane zachowanie tego układu, czyli atractor w kształcie podwójnej spirali, wynika z faktu, że dwa z tych punktów równowagi są jednocześnie niestabilne i spiralują – trajektoria wirowa się wokół jednego z nich, a gdy wystarczająco daleko od niego odbiega, zostaje rzucona na orbitę wokół drugiego, a następnie ostatecznie wraca do niej. W efekcie powstają dwie spirale, zwane "spiralne torowiska", połączone nieregularnym przełączaniem między nimi, a ponieważ to przełączanie jest regulowane przez wrażliwą, chaotyczną część dynamiki, żaden z orbit nie odtwarza dokładnie tej samej ścieżki.

Wrażliwość na zmiany, uwidoczniona

Obwód Chua posiada dodatni wyżarzający eksponent Lyapunov: należy rozpocząć dwie ścieżki od prawie identnych stanów początkowych i obserwować, jak odległość między nimi rośnie wykładniczo z czasem, mimo że podąające za tym równania są w pełni deterministyczne i nie zawierają żadnej losowości. Powyższa wykładnicza rozbieżność – to samo zjawisko popularyzowane jako efekt motyla – jest znakiem matematycznym chaosu, a numeryczny integrator musi ją wiernie odtworzyć. Integrator o zbyt grubym kroku czasowym lub niewłaściwym rzędzie dokładności nie tylko będzie lekko niedokładny; odchylenie od prawdziwej trajektorii nastąpi w tym samym wykładniczym tempie, jak każde dwa rzeczywiste ścieżki znajdujące się w pobliżu, dlatego systemy chaotyczne takie jak ten są zwykle integrowane przy użyciu metod Runge-Kutta czwartego rzędu (RK4) zamiast prostego kroku Eulera.

Dlaczego jeden układ zmienił dyscyplinę

Ponieważ obwód Chua jest zarówno wystarczająco prosty matematycznie, aby można było rygorystycznie udowodnić jego chaotyczny charakter (Chua, Komuro i Matsumoto formalnie potwierdzili to w 1986 roku), jak i fizycznie prosty do zbudowania z dostępnych części, stał się standardowym placem prób dla teorii chaosu eksperymentalnego: kontrola chaosu, synchronizacja systemów chaotycznych oraz bezpieczna komunikacja oparta na chaosie były wszystkie po raz pierwszy demonstrowane lub udoskonalane przy użyciu wariacji tego samego układu. Zajmuje on rolę w dynamice nieliniowej analogiczną do muchy owocowej w genetyce – nieistotna, ponieważ sama w sobie nie robi niczego użytecznego, ale dlatego, że jest wystarczająco prosta, aby każdy mógł badać ten sam dobrze zrozumiony system i porównywać wyniki bezpośrednio.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Chua's Circuit i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.