How does Bayesian poll aggregation actually work?

You start with a prior distribution over the candidate's true vote share, typically a Normal distribution with a mean and standard deviation reflecting what you believed before seeing any polls. Each new poll is itself treated as a noisy Normal-approximate observation of that same true share, with a sampling variance determined by its sample size: variance = phat(1-phat)/n. Because both the prior and the poll's likelihood are Gaussian, Bayes' rule gives a closed-form Gaussian posterior: the posterior precision (1/variance) is the sum of the prior's precision and the poll's precision, and the posterior mean is the precision-weighted average of the prior mean and the poll's observed proportion. Feeding polls in one at a time and using each posterior as the next prior gives exactly the same final answer as combining every poll's precision in one shot, because Gaussian updates are associative.

Why does a poll's sample size determine how much it moves the posterior?

A poll's sampling variance for an observed proportion is phat(1-phat)/n, so larger n gives a smaller variance, which means larger precision (the reciprocal of variance). In the Normal-Normal update, each poll's influence on the posterior mean is proportional to its precision relative to the total precision. A 3,000-respondent poll has roughly six times the precision of a 500-respondent poll (all else equal), so it pulls the posterior mean about six times harder toward its own observed value and narrows the posterior far more. This is exactly why this simulation lets you set each poll's sample size independently — you can watch a single large poll visibly move and narrow the bell curve much more than several small ones.

How is the 95% credible interval computed?

Once the posterior is a Normal distribution with mean mu and variance v, the 95% credible interval is simply mu ± 1.96 × sqrt(v), the same z-score used for a Normal confidence interval. As more polls are added, the posterior variance v = 1/(total precision) keeps shrinking, so the credible interval keeps narrowing. The simulation recomputes and redraws this interval after every poll, and the live chart plots its lower and upper bounds alongside the posterior mean across successive polls.

Can combining several noisy polls really produce a narrower estimate than any single poll?

Yes, and the simulation demonstrates this numerically after every poll you add: it compares the current posterior variance against the smallest individual variance among all polls entered so far. Because precisions add when Gaussian information sources are combined (total precision = sum of all individual precisions, including the prior's), the combined posterior precision is always at least as large as the largest single contributor, so the posterior variance is always at least as small as the smallest single poll's variance — and strictly smaller once more than one informative source is combined. This is the same mathematical principle behind meta-analysis and inverse-variance weighting in statistics.

Is this simulation's math the same as real poll-aggregation sites use?

The core mechanic — treating each poll's proportion as a Normal-approximate observation of a shared latent vote share and combining them by inverse-variance (precision) weighting — is a real and standard technique, closely related to fixed-effects meta-analysis and to the Beta-Binomial conjugate update for proportions. Production forecasters add further layers such as house-effect adjustments for pollster bias, time-decay so older polls count less, and state-to-national correlation models, none of which are simulated here. This page isolates and makes visible the single core update rule so the underlying Bayesian mathematics is transparent and verifiable.

Home▸AI & Machine Learning▸Verkiezingspeiling-aggregator — Live Bayesiaanse Middeling

🗳️ Verkiezingspeiling-aggregator — Live Bayesiaanse Middeling

Bekijk hoe een echt Bayesiaans peilingsmiddelingsmodel live gesimuleerde peilingresultaten combineert, elk gewogen naar echte uit steekproefgrootte afgeleide precisie, om een posterior-schatting van stemaandeel bij te werken. Voeg peilingen toe met eigen steekproefgrootte en waargenomen aandeel en bekijk hoe het 3D-posterior-oppervlak versmalt en verschuift.

AI & Machine Learning3DGemiddeld60 FPS

Over deze simulatie

Verkiezingsvoorspellers vertrouwen zelden op één enkele peiling. In plaats daarvan combineren ze elke binnenkomende peiling, waarbij ze betrouwbare enquêtes met een grote steekproef zwaarder wegen dan kleine, ruizige — een echte toepassing van Bayesiaanse inferentie. Deze simulatie begint met een prior Normale verdeling over het werkelijke stemaandeel van een kandidaat, en voegt vervolgens elke gesimuleerde peiling één voor één toe met een echte Normaal-Normaal-conjugaatupdate: de steekproefvariantie van elke peiling wordt eerlijk afgeleid uit de eigen steekproefgrootte (phat(1-phat)/n), omgezet in een precisie, en gecombineerd met de lopende posterior-precisie. Het resultaat is een exact, gesloten-vorm posterior-gemiddelde en -variantie — geen verzonnen gewogen gemiddelde — gevisualiseerd als een 3D-belcurve-richel die zichtbaar versmalt en verschuift naarmate meer bewijs binnenkomt.

🔬 Wat het toont

Een gerenderde 3D-richel van posterior-dichtheidscurves, één per tot nu toe verwerkte peiling, elk getekend langs een eigen stemaandeel-as met hoogte gelijk aan de Normale posterior-dichtheid op dat punt. Terwijl de precisie (1/variantie) van elke peiling wordt toegevoegd, versmalt de richel zichtbaar en verschuift de piek naar de precisiegewogen combinatie van alles wat tot nu toe is gezien, inclusief de prior. Een live 2D-grafiek plot het posterior-gemiddelde en het 95%-betrouwbaarheidsinterval over opeenvolgende peilingen.

🎮 Hoe te gebruiken

Stel een prior gemiddelde en standaardafwijking in voor het stemaandeel van de kandidaat, en voeg dan peilingen toe met een eigen steekproefgrootte (200-3.000) en waargenomen aandeel (0-100%). Gebruik "Willekeurige peiling toevoegen" om automatisch een plausibele peiling te genereren rond een verborgen werkelijk aandeel, of voeg meerdere peilingen met sterk uiteenlopende steekproefgroottes toe en bekijk hoe de kleine nauwelijks de posterior verplaatsen terwijl één grote peiling deze drastisch doet uitslaan en versmallen.

💡 Wist je dat?

Omdat Gaussische precisies simpelweg optellen, is de posterior-variantie na het combineren van meerdere peilingen wiskundig gegarandeerd niet groter dan de variantie van de kleinste afzonderlijke peiling — deze simulatie controleert en toont die ongelijkheid live na elke peiling die je toevoegt, hetzelfde principe achter inverse-variantie-weging in statistische meta-analyse.

Veelgestelde vragen

Hoe werkt Bayesiaanse peilingsaggregatie eigenlijk?

Je begint met een prior-verdeling over het werkelijke stemaandeel van de kandidaat, doorgaans een Normale verdeling met een gemiddelde en standaardafwijking die weerspiegelen wat je geloofde voordat je peilingen zag. Elke nieuwe peiling wordt zelf behandeld als een ruizige Normaal-benaderende waarneming van datzelfde werkelijke aandeel, met een steekproefvariantie bepaald door de steekproefgrootte: variantie = phat(1-phat)/n. Omdat zowel de prior als de likelihood van de peiling Gaussisch zijn, geeft de regel van Bayes een gesloten-vorm Gaussische posterior: de posterior-precisie (1/variantie) is de som van de precisie van de prior en die van de peiling, en het posterior-gemiddelde is het precisiegewogen gemiddelde van het prior-gemiddelde en het waargenomen aandeel van de peiling. Peilingen één voor één invoeren en elke posterior als volgende prior gebruiken geeft precies hetzelfde eindantwoord als het combineren van de precisie van elke peiling in één keer, omdat Gaussische updates associatief zijn.

Waarom bepaalt de steekproefgrootte van een peiling hoeveel die de posterior beweegt?

De steekproefvariantie van een peiling voor een waargenomen aandeel is phat(1-phat)/n, dus een grotere n geeft een kleinere variantie, wat een grotere precisie betekent (het omgekeerde van de variantie). Bij de Normaal-Normaal-update is de invloed van elke peiling op het posterior-gemiddelde evenredig met zijn precisie ten opzichte van de totale precisie. Een peiling met 3.000 respondenten heeft ongeveer zes keer de precisie van een peiling met 500 respondenten (bij verder gelijke omstandigheden), dus trekt die het posterior-gemiddelde ongeveer zes keer sterker naar de eigen waargenomen waarde en versmalt de posterior veel meer.

Hoe wordt het 95%-betrouwbaarheidsinterval berekend?

Zodra de posterior een Normale verdeling is met gemiddelde mu en variantie v, is het 95%-betrouwbaarheidsinterval simpelweg mu ± 1,96 × √(v), dezelfde z-score gebruikt voor een normaal betrouwbaarheidsinterval. Naarmate meer peilingen worden toegevoegd, blijft de posterior-variantie v = 1/(totale precisie) krimpen, dus blijft het betrouwbaarheidsinterval versmallen.

Kan het combineren van meerdere ruizige peilingen echt een nauwkeurigere schatting opleveren dan elke afzonderlijke peiling?

Ja, en de simulatie toont dit numeriek aan na elke peiling die je toevoegt: ze vergelijkt de huidige posterior-variantie met de kleinste afzonderlijke variantie onder alle tot nu toe ingevoerde peilingen. Omdat precisies optellen wanneer Gaussische informatiebronnen worden gecombineerd, is de gecombineerde posterior-precisie altijd minstens zo groot als de grootste afzonderlijke bijdrage, dus is de posterior-variantie altijd minstens zo klein als de variantie van de kleinste afzonderlijke peiling.

Is de wiskunde van deze simulatie hetzelfde als wat echte peilingsaggregatiesites gebruiken?

Het kernmechanisme — het behandelen van het aandeel van elke peiling als een Normaal-benaderende waarneming van een gedeeld latent stemaandeel en ze combineren via inverse-variantie(precisie)-weging — is een echte en standaardtechniek, nauw verwant aan fixed-effects-meta-analyse en aan de Beta-Binomiaal-conjugaatupdate voor aandelen. Productievoorspellers voegen verdere lagen toe zoals house-effect-correcties voor peilerbias en tijdverval, waarvan geen enkele hier wordt gesimuleerd.

⚙ Onder de motorkap

Een Normaal-Normaal Bayesiaanse conjugaatupdate combineert een prior over stemaandeel met de uit steekproefgrootte afgeleide steekproefvariantie van elke gesimuleerde peiling, wat een exact posterior-gemiddelde en -variantie oplevert na elke peiling — gevisualiseerd als een versmallende 3D-dichtheidsrichel plus een live grafiek van posterior-gemiddelde / 95%-betrouwbaarheidsinterval.

Bayesian InferenceNormal-Normal UpdatePrecision WeightingCredible Interval

3D · Three.js / WebGL renderer · 60 FPS target · runs fully client-side, no install