🧬 Analizzatore di Espressione Genica — Riduzione della Dimensionalità PCA dal Vivo

Che cos'è l'Analisi delle Componenti Principali (PCA) e perché usarla sui dati di espressione genica?

I set di dati di espressione genica misurano tipicamente migliaia di geni su decine o centinaia di campioni, quindi ogni campione è un punto in uno spazio ad altissima dimensionalità impossibile da tracciare direttamente. La PCA trova un piccolo insieme di nuovi assi — combinazioni lineari dei geni originali — che catturano il più possibile della varianza totale nei dati, in ordine di importanza. Proiettare i campioni sui primi due o tre di questi assi (le componenti principali) permette di visualizzare la struttura dominante nei dati, come cluster di campioni con programmi di espressione simili, scartando le direzioni che sono per lo più rumore.

Come viene calcolata la matrice di covarianza e cosa rappresenta?

Dati N campioni ciascuno con M misurazioni geniche, i dati vengono prima centrati sulla media sottraendo l'espressione media di ciascun gene su tutti i campioni. La matrice di covarianza C è allora la matrice M×M C = (1/(N−1)) XᶜᵀXᶜ, dove Xᶜ è la matrice di dati N×M centrata. L'elemento C[i][j] misura come il gene i e il gene j varino insieme tra i campioni: un grande valore positivo significa che i due geni tendono a essere regolati in su o in giù insieme, un grande valore negativo significa che si muovono in direzioni opposte, e un valore vicino a zero significa che variano in modo indipendente. Le componenti principali della PCA sono esattamente gli autovettori di questa matrice di covarianza.

Come trova l'algoritmo agli autovalori di Jacobi gli autovettori e gli autovalori?

L'algoritmo agli autovalori di Jacobi diagonalizza una matrice simmetrica reale applicando ripetutamente rotazioni che azzerano un elemento fuori diagonale alla volta. Ogni rotazione è scelta con angolo φ = 0,5·atan2(2a_pq, a_qq − a_pp) in modo che, dopo averla applicata, l'elemento (p,q) diventi esattamente zero, mentre il prodotto accumulato di tutte le matrici di rotazione converge agli autovettori e la diagonale della matrice trasformata converge agli autovalori. Questa simulazione esegue passate cicliche complete su ogni coppia fuori diagonale, ripetendo finché la norma fuori diagonale non scende sotto una tolleranza rigorosa — questa è una vera autoscomposizione numerica calcolata in JavaScript, non una ricerca in tabella o un'approssimazione, e converge alla precisione di macchina entro poche decine di passate per le dimensioni di matrice usate qui.