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Polski🎯 Galton-Brett — Zentraler Grenzwertsatz & Normalverteilung
Lassen Sie Kugeln durch ein Galton-Brett fallen und beobachten Sie, wie die Binomialverteilung entsteht und mit steigender Zeilenzahl gegen eine Gaußverteilung konvergiert. Der zentrale Grenzwertsatz in Aktion.
Über diese Simulation
Dieses Galton-Brett lässt Kugeln über Reihen von Stiften fallen, an denen jede Kugel zufällig nach links oder rechts abprallt. Die resultierende Verteilung der Endpositionen folgt einer Binomialverteilung, die sich mit zunehmender Reihenzahl der Gaußschen Normalverteilung annähert — eine direkte, physikalische Illustration des zentralen Grenzwertsatzes.
🔬 Was gezeigt wird
Jede Kugel trifft an jeder Stiftreihe eine unabhängige binäre Zufallsentscheidung. Die Summe vieler solcher Entscheidungen ergibt eine Binomialverteilung, die bei vielen Reihen praktisch nicht mehr von einer Gaußkurve zu unterscheiden ist.
🎮 Bedienung
Stellen Sie Reihenanzahl n (4–16) und Abprallwahrscheinlichkeit p (0,1–0,9) ein, sowie Kugelgeschwindigkeit und Kugeln pro Fall. Klicken Sie auf „1 fallen lassen“ oder „100 fallen lassen“, um die entstehende Verteilung zu beobachten.
💡 Wussten Sie schon?
Das Galton-Brett wurde 1889 von Francis Galton erfunden, um genau diesen Effekt zu demonstrieren — dass die Summe vieler kleiner Zufallseinflüsse fast immer zu einer Glockenkurve führt, unabhängig von der genauen Verteilung der Einzelentscheidungen.
Häufig gestellte Fragen
Warum entsteht am Ende eine Glockenkurve?
Jede Kugel durchläuft n unabhängige Zufallsentscheidungen, und die Summe vieler unabhängiger Zufallsvariablen konvergiert nach dem zentralen Grenzwertsatz gegen eine Normalverteilung, unabhängig von der Verteilung der einzelnen Entscheidungen.
Was bedeutet die Wahrscheinlichkeit p?
p ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel an einem Stift nach rechts statt nach links abprallt. Bei p = 0,5 ist die resultierende Verteilung symmetrisch; andere Werte verschieben den Mittelpunkt und die Form der Verteilung.
Wie hängt das Galton-Brett mit dem Pascalschen Dreieck zusammen?
Die Anzahl der Wege, auf denen eine Kugel in einem bestimmten Fach landen kann, entspricht genau den Binomialkoeffizienten des Pascalschen Dreiecks für die jeweilige Reihenzahl.
Warum wird die Kurve mit mehr Reihen glatter?
Mit mehr Reihen wächst die Anzahl möglicher Endpositionen, und die diskrete Binomialverteilung nähert sich immer feiner der kontinuierlichen Gaußkurve an — ein direktes Beispiel für die Konvergenz im zentralen Grenzwertsatz.