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Polski📏 Fehlerfortpflanzung & Unsicherheit
Wenn z = f(x,y), dann σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y² (lineare Fortpflanzung). Monte-Carlo-Simulation bestätigt analytische Ergebnisse. Interaktiver Formelbaukasten für Addition, Multiplikation und beliebige Funktionen.
Über diese Simulation
Diese Simulation vergleicht zwei Wege, die Unsicherheit von z = f(x,y) zu bestimmen: die analytische Taylor-Formel erster Ordnung σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y² und einen Brute-Force-Monte-Carlo-Ansatz, der Tausende zufällige (x,y)-Paare aus Gauß-Verteilungen zieht und z für jedes direkt berechnet. Die rote analytische Gauß-Kurve überlagert das blaue Monte-Carlo-Histogramm, sodass du genau siehst, wann die beiden Methoden übereinstimmen und wann sie voneinander abweichen.
🔬 Was gezeigt wird
Ein Histogramm der Monte-Carlo-Stichprobenwerte von z mit überlagerter analytischer Gauß-Kurve, eine gestrichelte Linie, die den Monte-Carlo-Mittelwert markiert, ein schattiertes ±1σ-Band sowie ein Statistik-Panel, das analytische und Monte-Carlo-Mittelwerte, Standardabweichungen und ihre relative Differenz vergleicht.
🎮 Bedienung
Wähle eine Formel (Summe, Differenz, Produkt, Verhältnis, Quadrat oder Hypotenuse) aus dem Dropdown, stelle Mittelwert und σ für x und y mit den Reglern ein, passe die Anzahl der Monte-Carlo-Stichproben an und klicke auf Neu abtasten, um den Vergleich neu zu zeichnen.
💡 Wusstest du schon?
Für die linearen Formeln z=x+y und z=x−y sollten sich die analytische und die Monte-Carlo-Kurve nahezu perfekt überlagern, egal wie groß σ_x und σ_y werden — aber wechsle zu z=√(x²+y²) oder z=x·y und erhöhe die Eingangsunsicherheiten, und du wirst sehen, wie das Histogramm sichtbar von der symmetrischen Gauß-Verteilung abweicht, die die lineare Formel vorhersagt, wodurch genau sichtbar wird, wo die Fehlerfortpflanzung erster Ordnung versagt.
Häufig gestellte Fragen
Warum stimmen die analytischen und Monte-Carlo-σ_z-Werte manchmal nicht überein?
Die analytische Formel ist eine Taylor-Näherung erster Ordnung, die nur gilt, wenn die Funktion über den von den Eingangsunsicherheiten überspannten Bereich nahezu linear ist; für echt nichtlineare Formeln wie z=x² oder z=√(x²+y²) lässt eine Vergrößerung von σ_x oder σ_y relativ zum Mittelwert die wahre Verteilung von der Gauß-Form abweichen, was die Statistik „relative Differenz“ direkt quantifiziert.
Warum verhält sich z = x² so anders als z = x + y?
Addition ist exakt linear, sodass ihre partiellen Ableitungen (beide gleich 1) überall konstant sind und die Formel erster Ordnung unabhängig von σ exakt ist; Quadrieren hat eine Ableitung 2x, die sich mit x selbst ändert, sodass die fortgepflanzte Unsicherheit nur eine lokale lineare Näherung ist — eine Erhöhung von σ_x bei der Formel z=x² ist der schnellste Weg, das Histogramm sichtbar von der roten analytischen Kurve abweichen zu sehen.
Was verbessert eine Erhöhung des Reglers für MC-Stichproben eigentlich?
Mehr Stichproben reduzieren das statistische Rauschen in der Monte-Carlo-Schätzung selbst (der empirische Mittelwert und die Standardabweichung konvergieren mit wachsender Stichprobenzahl gegen ihre wahren Werte), was ein glatteres Histogramm ergibt — es ändert nicht, ob die zugrunde liegende Funktion linear ist oder nicht, und behebt daher keine Abweichung, die durch echte Nichtlinearität verursacht wird.
Warum benötigt die Produktformel z = x·y relative statt absolute Unsicherheiten?
Weil ∂(xy)/∂x = y und ∂(xy)/∂y = x, vereinfacht sich das Einsetzen in die allgemeine Formel und Teilen durch z=xy algebraisch zu (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)² — genau deshalb werden Produkt- und Verhältnisformeln üblicherweise in relativer/prozentualer statt absoluter Unsicherheit ausgedrückt.
Warum sieht das Histogramm manchmal asymmetrisch aus, obwohl beide Eingaben perfekt gaußverteilt sind?
Jede nichtlineare Transformation einer symmetrischen Verteilung kann Schiefe einführen — zum Beispiel erzeugt die Division zweier Gauß-Verteilungen (z=x/y) eine Verteilung mit schwereren Ausläufern als jede der Eingaben, besonders wenn die Unsicherheit von y groß genug ist, dass Stichproben sich null nähern können — ein Fall, den die Annahme konstanter Ableitungen der linearen Formel nicht erfassen kann.