🎨 Komplexe Funktionen

Ein Verzweigungsschnitt ist eine Linie in der komplexen Ebene, an der eine mehrdeutige Funktion wie log(z) oder z^(1/2) künstlich eindeutig gemacht wird, indem ein Zweig als „Hauptwert“ festgelegt wird. Im Domain Coloring zeigt sich dies als scharfer Sprung im Farbton — Farben springen abrupt von einem Wert zu seinem Spiegelbild jenseits des Schnitts. Der übliche Verzweigungsschnitt für log(z) verläuft entlang der negativen reellen Achse; der Hauptwert von arg(z) liegt in (−π, π].

Eine komplexe Funktion f = u + iv ist genau dann in einem Punkt komplex differenzierbar (holomorph), wenn ihr Real- und Imaginärteil ∂u/∂x = ∂v/∂y und ∂u/∂y = −∂v/∂x erfüllen. Dies ist die Cauchy-Riemann-Gleichung. Im Domain Coloring zeichnen sich holomorphe Bereiche durch glatte, konform verzerrte Farbmuster aus; nicht-analytische Funktionen (wie |z| oder Re(z)) erzeugen Farbfelder, die die Cauchy-Riemann-Symmetrie verletzen und „zerrissen“ wirken.

Die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) hat einen einzigen Pol bei s = 1 (ein heller weißer Punkt mit im Uhrzeigersinn rotierendem Farbton) und unendlich viele Nullstellen, von denen vermutet wird, dass sie auf der kritischen Linie Re(s) = 1/2 liegen (die Riemannsche Vermutung). Im Domain Coloring erscheinen die Nullstellen als dunkle Punkte, an denen die Farbtöne gegen den Uhrzeigersinn zusammenlaufen. Die erste nicht-triviale Nullstelle liegt bei s ≈ 0,5 + 14,135i.

Eine konforme Abbildung ist eine komplexe Funktion, die lokal Winkel erhält — kleine Formen werden gedreht und skaliert, aber nicht geschert. Jede holomorphe Funktion mit nicht verschwindender Ableitung ist konform. Ingenieure nutzen dies, um komplizierte Strömungs- oder elektrostatische Probleme in unregelmäßigen Gebieten in einfachere Geometrien zu transformieren: Eine Strömung um einen Zylinder lässt sich auf eine gleichförmige Strömung abbilden und zurückabbilden, was eine exakte analytische Lösung für die Druckverteilung um ein Tragflügelprofil liefert.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen hat (mit Vielfachheit gezählt). Im Domain Coloring bedeutet das, dass jedes Polynom vom Grad n genau n dunkle Punkte (Nullstellen) zeigen muss, um die der Farbton gegen den Uhrzeigersinn windet — vorausgesetzt, der Bildausschnitt ist groß genug. Das Abzählen der Windungen liefert einen visuellen Beweis des Satzes für jedes eingegebene Polynom.

Die Funktion e^z = e^x·e^(iy) hat den Betrag e^x (hängt nur vom Realteil ab) und das Argument y (hängt nur vom Imaginärteil ab). Im Domain Coloring verlaufen horizontale Streifen gleicher Helligkeit (konstanter Betrag) senkrecht, während sich der Farbton in vertikaler (imaginärer) Richtung alle 2π wiederholt. Die Funktion hat in der endlichen Ebene keine Nullstellen oder Pole — sie ist eine ganze Funktion —, besitzt aber eine wesentliche Singularität im Unendlichen.

Das Newton-Verfahren zum Finden komplexer Nullstellen eines Polynoms z^n − c = 0 ordnet jedem Startpunkt die Nullstelle zu, gegen die er konvergiert, und erzeugt so das Newton-Fraktal. Wird Domain Coloring zur Färbung der Konvergenzbecken verwendet, entsteht eine reich strukturierte fraktale Grenze zwischen den Becken. Dies ist eine der eindrucksvollsten visuellen Anwendungen der Theorie komplexer Funktionen und zeigt, dass selbst einfache Nullstellensuche geometrisch komplex sein kann.

Domain Coloring ordnet jedem Punkt z der komplexen Ebene eine Farbe zu, die durch f(z) bestimmt wird. Die gängigste Konvention setzt Farbton = arg(f(z)) (Rot bei 0°, Gelb bei 60°, Grün bei 120°, Cyan bei 180°, Blau bei 240°, Magenta bei 300°) und Helligkeit proportional zu log|f(z)|, sodass jede Größenordnung einem Helligkeitszyklus entspricht. So entstehen die charakteristischen „Farbrad“-Muster um jede Nullstelle und jeden Pol.

Eine Nullstelle der Ordnung n erscheint als dunkler Punkt, an dem sich alle Farbtöne treffen und sich genau n-mal gegen den Uhrzeigersinn winden. Die Windungszahl — wie oft sich das Farbrad beim Umkreisen des Punktes vollständig durchläuft — entspricht der Ordnung der Nullstelle. Eine einfache Nullstelle (n=1) zeigt einen vollständigen Farbzyklus, eine doppelte (n=2) zwei Zyklen.

Ein Pol der Ordnung n erscheint als extrem heller Punkt, an dem sich die Farbtöne n-mal im Uhrzeigersinn winden (entgegengesetzt zu einer Nullstelle). Nahe eines einfachen Pols wächst der Betrag unbeschränkt, sodass die Helligkeit ins Weiß übergeht und sich die Farbe einmal in negativer (im Uhrzeigersinn) Richtung dreht. Pole höherer Ordnung zeigen mehrfache Drehungen des Farbrads im Uhrzeigersinn, wodurch ihre Ordnung visuell erkennbar ist.