Про симуляцію фізики йо-йо
Ця симуляція моделює йо-йо як суцільний диск із моментом інерції I = ½MR², який розмотується з тонкої осі радіуса r. Під час розмотування нитки сила тяжіння протидіє натягу нитки, визначаючи швидкість спуску. Другий закон Ньютона для поступального та обертального руху разом дають постійне прискорення вниз a = g / (1 + R²/(2r²)), яке анімація інтегрує покроково на полотні canvas.
Повзунки дозволяють задати масу M (20–300 г), зовнішній радіус R (15–55 мм), радіус осі r (2–15 мм), довжину нитки (20–100 см) і втрати на тертя (0–20%). Спостереження за тим, як гравітаційна потенціальна енергія ділиться на поступальну й обертальну кінетичну енергію, робить цей пристрій класичним прикладом обертальної динаміки, закону збереження енергії та принципу «зниження» швидкості падіння за рахунок малої осі.
Поширені запитання
Чому йо-йо падає так повільно, а не вільно?
Тому що нитка змушує йо-йо обертатися під час падіння, і сила тяжіння мусить розподіляти свою енергію між поступальним рухом та обертанням. Прискорення дорівнює a = g / (1 + R²/(2r²)). Оскільки зовнішній радіус R значно більший за радіус осі r, знаменник великий, і прискорення становить лише малу частку g — спуск виходить плавним.
Який момент інерції використовується в цій моделі?
Йо-йо розглядається як однорідний суцільний диск, тому його момент інерції відносно центральної осі дорівнює I = ½MR², де M — маса, а R — зовнішній радіус. Це значення обчислюється в реальному часі з повзунків маси та зовнішнього радіуса і безпосередньо використовується у формулах прискорення та обертальної кінетичної енергії ½Iω².
Що регулюють п'ять повзунків?
Повзунок маси M задає масу диска в грамах, зовнішній радіус R і радіус осі r — розміри диска й осі в міліметрах, довжина нитки — відстань падіння в сантиметрах, а втрати на тертя додають невеликий швидкісно-залежний опір у відсотках. Маса скорочується у формулі прискорення, але масштабує всі значення енергії; рівень втрат визначає, як швидко йо-йо врешті зупиниться.
Як розподіляється енергія під час падіння?
На шляху вниз гравітаційна потенціальна енергія перетворюється на поступальну кінетичну енергію (½Mv²) та обертальну кінетичну енергію (½Iω²). Оскільки v = ωr зафіксовано ниткою, співвідношення між ними залишається постійним: R²:r². Кольорові смуги на панелі відображають ці три запаси енергії в реальному часі.
Чому радіус осі має таке велике значення?
Радіус осі r входить у формулу прискорення в квадраті й визначає, як швидко диск обертається при заданій швидкості падіння, адже ω = v/r. Тонша вісь змушує йо-йо обертатися швидше, накопичує більше енергії в обертанні й уповільнює спуск; товстіша вісь дозволяє падати швидше. Саме цей принцип «передачі» використовують справжні конструктори йо-йо.
Що відбувається, коли йо-йо досягає нижньої точки?
Коли нитка повністю розмотана, йо-йо на мить «спить», а потім диск, що обертається, починає намотувати нитку знову й підіймається вгору. У симуляції це реалізовано як зміна знаку швидкості з урахуванням втрат, тому кожен підйом трохи нижчий за попереднє падіння — доки рух не затухне.
Наскільки точна ця симуляція з фізичної точки зору?
Основна фізика коректна: використовується правильний момент інерції суцільного диска, стандартна формула прискорення та належний облік енергії. Однак це ідеалізована модель — вона не враховує пружність і товщину нитки, опір повітря та точну механіку «сну» й намотування, натомість моделює втрати як простий налаштовуваний відсоток у кожній точці повороту.
Чи впливає маса йо-йо на швидкість падіння?
Ні. Маса скорочується у формулі прискорення a = g / (1 + R²/(2r²)), тому легке і важке йо-йо однієї форми падають з однаковою швидкістю — так само, як у вільному падінні. Проте більша маса збільшує всі показники енергії та надає важчому йо-йо більшого імпульсу, завдяки чому воно довше обертається або «спить» на практиці.
Що відображає повзунок втрат на тертя?
Він моделює тертя в осі й опір повітря як стік енергії, пропорційний швидкості. При 0% йо-йо майже нескінченно відскакує між верхньою і нижньою точками; збільшення значення забирає енергію на кожному проході, тому коливання загасають і пристрій зупиняється раніше — подібно до того, як реальне йо-йо врешті-решт зупиняється.
Як це пов'язано з реальними трюками йо-йо, наприклад «сном»?
«Сон» — це коли йо-йо вільно обертається в нижній точці повністю розмотаної нитки. Що більше обертальної кінетичної енергії ½Iω² воно несе, то довше спить, поки тертя не зупинить його. Спортсмени обирають важчі обода та підшипники з низьким тертям, щоб максимізувати накопичений оберт — ті самі величини, які відстежує смуга обертальної КЕ у цій симуляції.
Як рівняння розв'язуються з часом?
Симуляція рухається вперед із фіксованим прискоренням і оновлює швидкість, положення та кут обертання на кожному кадрі анімації з малим кроком часу (обмеженим приблизно 33 мс). Кут зростає за формулою ω = v/r, а в кожній верхній або нижній точці швидкість змінює знак із урахуванням втрат. Саме це чисельне інтегрування створює плавний безперервно оновлюваний рух, який ви бачите.