🏀 М'яч, що відскакує
Кинь м'яч і дивись, як щоразу зникає частина енергії. Різні м'ячі — різна пружність. Чому?
Кинь м'яч і дивись, як щоразу зникає частина енергії. Різні м'ячі — різна пружність. Чому?
Коли м'яч відскакує, він зазнає зіткнення з підлогою, що характеризується коефіцієнтом відновлення e — відношенням швидкості після удару до швидкості до удару: e = v_після/v_до. Ідеально пружний м'яч (e = 1) відскакував би вічно, досягаючи тієї самої висоти щоразу. Реальний м'яч (0 < e < 1) втрачає частку (1 − e²) кінетичної енергії за кожен відскік у вигляді тепла, звуку та внутрішньої деформації. Висота після n відскоків: h_n = e^(2n) · h₀, а м'яч робить нескінченно багато відскоків за скінченний сумарний час T = h₀^(1/2) · (1 + e) / ((1 − e) · (g/2)^(1/2)) — класичний результат із геометричних рядів.
Ця симуляція дозволяє кинути м'яч з обраної висоти та регулювати коефіцієнт відновлення, прискорення вільного падіння та радіус м'яча. Спостерігайте анімацію, графік висота-час з кривою, що затухає, і стовпчикову діаграму розкладу повної, кінетичної та потенційної енергії.
Що таке коефіцієнт відновлення?
Коефіцієнт відновлення e = v_відскоку/v_удару — безрозмірне відношення від 0 до 1. При e = 1 (ідеально пружний) кінетична енергія зберігається. При e = 0 (абсолютно непружний) м'яч не відскакує взагалі. Типові значення: супербол ~0,9, тенісний м'яч ~0,73, баскетбольний м'яч ~0,76, м'яч для гольфу ~0,68. Коефіцієнт залежить від матеріалу м'яча, температури та швидкості удару.
Скільки енергії втрачається за кожен відскік?
Кожен відскік зберігає частку e² кінетичної енергії попереднього (оскільки КЕ ∝ v² та v_після = e·v_до). Відносна втрата енергії за відскік = 1 − e². Для тенісного м'яча (e = 0,73): втрата = 1 − 0,533 ≈ 47% за відскік. Для суперболу (e = 0,9): втрата = 1 − 0,81 = 19% за відскік. Висота відскоку пропорційна енергії: h₀·e^(2n) після n відскоків.
Чому м'яч врешті-решт перестає відскакувати?
Кожен відскік займає час, пропорційний висоті відскоку, тому послідовні часи відскоків утворюють геометричний ряд: t_n = 2v_n/g = 2e^n·v_0/g. Загальний час відскоків T = (2v_0/g)·(1/(1−e)) — скінченна сума, попри нескінченну кількість відскоків. М'яч математично завершує нескінченно багато відскоків за скінченний час, після чого вся кінетична енергія розсіяна. На практиці останні мікро-відскоки занадто малі для спостереження.
При пружному зіткненні зберігається кінетична енергія (e = 1): і імпульс, і кінетична енергія незмінні до і після. При непружному зіткненні (0 < e < 1) кінетична енергія частково перетворюється у внутрішню (тепло, звук, деформація), але імпульс зберігається. При абсолютно непружному зіткненні (e = 0) тіла злипаються і мають максимальну втрату кінетичної енергії, сумісну з законом збереження імпульсу. Реальні зіткнення завжди десь між ними.
Гравітація задає масштаб часів і висот відскоків, але не змінює коефіцієнт відновлення або частку втраченої енергії за відскік. На Місяці (g ≈ 1,62 м/с²) м'яч, кинутий з 1 м, падав би √(2/1,62) ≈ 1,11 с і мав набагато довший сумарний час відскоків. Кількість відскоків незмінна, але кожен відскік вищий і триваліший. На Юпітері (g ≈ 24,8 м/с²) відскоки коротші і швидші.
Звук відскоку спричиняється швидкою деформацією і відновленням м'яча та підлоги під час удару, що породжує хвилі тиску (звук). Висота тону звуку зростає з кожним меншим відскоком — бо час контакту скорочується, а домінуюча частота ударної сили (пропорційна 1/час_контакту) зростає. Характерний «стукіт» баскетбольного м'яча містить частоти від 200 до понад 2000 Гц з піком близько 400–800 Гц.
Найпростіший спосіб — кинути м'яч з відомої висоти h₀ і виміряти висоту відскоку h₁. Тоді e = √(h₁/h₀). Для спортивного обладнання є стандартизовані тести: наприклад, нормативи FIFA вимагають, щоб м'яч, кинутий з 2 м на сталеву плиту, відскочив на висоту від 1,20 до 1,45 м (e від 0,775 до 0,851). Точніше вимірювання використовує швидкісні камери (1000+ кадрів/с) для фіксації швидкостей безпосередньо.
Супербол, винайдений Норманом Стінглі в 1965 році, виготовлений з висококросзшитого синтетичного каучуку (поліутадієн) під назвою Zectron з коефіцієнтом відновлення близько 0,9 — значно вищим за звичайний гумовий м'яч (~0,7). Його виняткові відскоки обумовлені дуже великим модулем пружності вулканізованої гуми, яка зберігає і повертає пружну енергію з дуже малими гістерезисними втратами.
Одиночний м'яч не може відскочити вище початкової висоти без додаткового введення енергії (що порушувало б закон збереження). Однак з двома м'ячами, складеними один на одного, виникає дивовижне явище: маленький м'яч (m) на великому (M), кинутих разом, після удару великого м'яча об підлогу отримує додатковий імпульс. Малий м'яч може відскочити приблизно до 9 разів більшої висоти. Це «досвід із складеними м'ячами», що зберігає повну енергію, але концентрує її в меншому м'ячі.
М'яч, що обертається, накопичує кутовий момент, який частково перетворюється в трансляційний імпульс або з нього під час зіткнення, залежно від тертя між м'ячем і поверхнею. М'яч з топспіном відскакує більше вперед (менший кут відскоку), бо обертання додає до компоненти швидкості вперед під час контакту. М'яч із зворотним обертанням може відскочити майже вертикально або навіть назад. Ці ефекти є ключовими в крикеті, тенісі, снукері та настільному тенісі.
Кинь м'яч з обраної висоти і подивись, скільки енергії він зберігає після кожного відскоку. Кожен удар визначається коефіцієнтом відновлення — відношенням швидкості відскоку до швидкості удару, — тоді як прискорення вільного падіння (9,81 м/с²) щоразу тягне м'яч назад до підлоги. М'яч із високим коефіцієнтом, як-от супербол, зберігає більшість енергії і підстрибує майже так само високо, як і раніше; м'яч із низьким коефіцієнтом, як сталевий, втрачає більшість енергії у вигляді тепла й звуку вже за кілька відскоків.
Шість типів м'яча — баскетбольний, тенісний, гумовий, футбольний, сталевий і супербол — кожен зі своїм коефіцієнтом відновлення, від 0,55 до 0,92. Живі показники відстежують поточну висоту, номер відскоку, коефіцієнт і залишок енергії, а пунктирні позначки піків та кольорова шкала енергії на канві показують, як обвідна відскоків поступово згасає.
Обери тип м'яча серед пресетів, встанови повзунок висоти падіння (0,5–3,5 м) і натисни «Кинути», щоб відпустити м'яч. Повзунок швидкості (1×–4×) сповільнює анімацію для детального огляду або прискорює її, щоб швидко побачити багато відскоків, а кнопка «Скинути» повертає м'яч у початкове положення.
Справжні суперболи, винайдені 1965 року з сильно зшитого синтетичного каучуку Zectron, мають коефіцієнт відновлення близько 0,9 і відскакують приблизно на 80% висоти падіння. Сталь, навпаки, майже не деформується при ударі, але розсіює більшість енергії як тепло й звук — її коефіцієнт один із найнижчих серед поширених матеріалів, близько 0,5.
Це відношення швидкості відскоку м'яча до швидкості удару — від 0 (м'яч не відскакує) до 1 (ідеально пружний відскок). Кожен пресет тут має фіксоване значення коефіцієнта відновлення, від 0,55 до 0,92.
Кожен удар перетворює частину кінетичної енергії м'яча на тепло, звук і деформацію. Залишок енергії після n відскоків дорівнює коефіцієнту відновлення в квадраті, піднесеному до степеня n, і відображається в реальному часі у відсотках.
Висота після n-го відскоку обчислюється як h(n) = h0 × КВП у степені 2n, як показано в довідковому блоці. Оскільки КВП завжди менше 1, кожен наступний відскок нижчий, теоретично нескінченно, поступово згасаючи до нуля.
Коефіцієнт відображає, наскільки ефективно матеріал зберігає й повертає пружну енергію, а не втрачає її на внутрішнє тертя. Гума суперболу повертає енергію ефективно (0,92); сталь розсіює набагато більше у вигляді тепла (0,55).
Це множник відтворення від 1× до 4×, застосований до кроку часу фізичної симуляції, а не зміна гравітації чи коефіцієнта відновлення. Він просто дозволяє переглянути те саме падіння швидше.