Про симуляцію мережі пружин
Ця симуляція розміщує 50 вузлів випадково у 2D просторі та з'єднує пари вузлів із ймовірністю p. Отримана мережа — це випадкова пружна ґратка, де кожен зв'язок діє як лінійна пружина з довжиною спокою рівною початковій відстані між вузлами. Середній ступінь z = p(N-1) контролює механічну поведінку мережі.
Джеймс Клерк Максвелл показав у 1864 році, що шарнірна рама у d вимірах потребує принаймні 2dN зв'язків для жорсткості. Для великих випадкових мереж у 2D це означає критичний середній ступінь z_c = 4. Нижче z_c мережа є пластичною — має f = 2N - B - 3 мод нульової енергії. Вище z_c мережа напружено-жорстка. Змінюйте повзунок зв'язності, щоб спостерігати перехід жорсткості.
При застосуванні навантаження (зсув, стиснення або розтягнення) граничні вузли зміщуються афінно, а внутрішні вузли релаксують через градієнтний спуск на пружній енергії. Пружини забарвлені за напруженням: синій — стиснення (коротше за довжину спокою), червоний — розтягнення, сірий — нейтральний.
Часті запитання
Що таке критерій жорсткості Максвелла?
Джеймс Клерк Максвелл показав у 1864 році, що шарнірно з'єднана рама у d вимірах з N вузлами і B зв'язками є жорсткою, коли B ≥ dN - d(d+1)/2. Для великих 2D мереж це спрощується до середнього ступеня z_c = 2d = 4: нижче цього порогу мережа має пластичні (нульоенергетичні) моди деформації; вище — вона напружено-жорстка.
Що таке пластична мода?
Пластична мода — це колективна деформація мережі, що не коштує енергії. Нижче порогу Максвелла z_c мережа має f = 2N - B - 3 незалежних пластичних мод. Це м'які моди, що дозволяють велику деформацію за мізерних витрат енергії, роблячи матеріал механічно слабким.
Як мережі пружин моделюють аморфні тверді тіла?
Аморфні тверді тіла (скло, гелі, фіброві мережі) не мають кристалічного порядку, але механічно жорсткі. Випадкові мережі пружин захоплюють їхню основну фізику: розподіл ступенів контролює модулі, а перехід жорсткості при z_c = 2d аналогічний геометричному фазовому переходу в гранулярній матерії та полімерних мережах.
Що таке аффінне і неаффінне зміщення?
При прикладеній деформації аффінне зміщення — це проста однорідна деформація, яку можна побачити в суцільному середовищі. Неаффінні зміщення — це додаткові гетерогенні перебудови в невпорядкованих мережах для розподілу напружень. Вони найбільші поблизу порогу жорсткості й вимірюються параметром неаффінності Γ.
Як виникають пружні модулі в мережах пружин?
Об'ємний модуль K і модуль зсуву G випадкової мережі пружин залежать від зв'язності p і жорсткості пружини k. Поблизу порогу жорсткості обидва модулі зникають за степеневими законами: G ~ (z-z_c)^f з критичним показником f≈1.4 у 2D.
Що таке перехід перколяції жорсткості?
Зі збільшенням зв'язності p мережа переходить від пластичної до жорсткої при критичній зв'язності p_c, що відповідає z_c = 4. Цей перехід відрізняється від звичайної перколяції (де спочатку з'являється провідний шлях) і відбувається при вищому p. Поблизу p_c мережа показує критичні флуктуації і розбіжні довжини кореляції.
Де в біології зустрічаються випадкові мережі пружин?
Цитоскелет живих клітин — це полімерна мережа актинових філаментів і мікротрубочок, зшитих білками. Зв'язність цих мереж визначає жорсткість клітини й механосенсинг. Позаклітинний матрикс, колагенові гелі та фібринові згустки також поводяться як випадкові мережі пружин з переходами жорсткості, що регулюються щільністю зшивок.
Яка різниця між розтягуючою і згинальною жорсткістю?
Чисті пружинні мережі мають жорсткість лише вище z_c = 4 у 2D. Мережі з кутовими (згинальними) пружинами між сусідніми зв'язками жорсткі при всіх z > 2, оскільки згинальна жорсткість стабілізує механізми, яким чисті пружини не можуть протистояти. Реальні матеріали часто мають обидва типи, з домінуванням згину при низькій зв'язності.
Як жорсткість мережі пов'язана з гранулярними матеріалами?
Гранулярні упаковки (пісок, гравій) поблизу точки джамінгу поводяться як випадкові мережі пружин. У точці джамінгу кожне зерно торкається рівно z_c = 2d сусідів у середньому — мінімальна кількість для граничної жорсткості. Модуль зсуву зникає в джамінгу і зростає як G ~ (z - z_c)^1 вище нього, що відповідає теорії пружних мереж.
Чому фіброві мережі показують нелінійне зміцнення?
Біополімерні фіброві мережі (колаген, актин) різко жорсткіють при великих деформаціях — модуль може зрости в 100 разів. Це зміцнення відбувається тому, що спочатку пластичні мережі рекрутуються до жорсткості, коли деформація вирівнює зв'язки і вичерпує пластичні моди. Початок зміцнення відповідає деформаційно-індукованому переходу жорсткості.