Ця симуляція будує модель Воттса-Строгатца. Вона починається з правильної кільцевої решітки, у якій кожен із N вузлів з'єднується зі своїми k найближчими сусідами, а потім перезв'язує кожне ребро з імовірністю p до випадково обраного віддаленого вузла. Зі зростанням p мережа вимірюється двома величинами: середнім коефіцієнтом кластеризації C, що обчислюється як частка сусідів вузла, які самі з'єднані між собою, та середньою довжиною найкоротшого шляху L, знайденою пошуком у ширину між парами вузлів.
Повзунки N, k і p задають розмір решітки, локальну зв'язність і частку перезв'язування, а кнопки «Перезв'язати» і «Скинути» перебудовують граф. Графік відстежує співвідношення C(p)/C0 та L(p)/L0 відносно неперезв'язаної решітки. Ключова ідея полягає в тому, що жменька далекосяжних ярликів різко скорочує довжину шляху, тоді як кластеризація залишається високою, утворюючи режим «малого світу». Це пояснює шість рукостискань у соціальних, нейронних та інфраструктурних мережах.
Що таке мережа малого світу?
Мережа малого світу — це граф, що поєднує високу локальну кластеризацію, як у правильній решітці, з короткими середніми довжинами шляху між будь-якими двома вузлами, як у випадковому графі. Воттс і Строгатц увели її в 1998 році, щоб пояснити, чому реальні мережі, такі як дружні зв'язки чи енергомережі, є водночас локально згуртованими та глобально добре зв'язаними.
Як працює перезв'язування Воттса-Строгатца?
Модель починається з кільцевої решітки, де кожен вузол з'єднується зі своїми k найближчими сусідами. Потім вона переглядає кожне ребро і з імовірністю p перепідключає один кінець до випадкового вузла деінде в кільці, уникаючи петель і дублікатів зв'язків. При p = 0 нічого не змінюється; при p = 1 майже всі ребра стають випадковими ярликами.
Що контролюють повзунки N, k і p?
N задає кількість вузлів (від 10 до 80), k задає, зі скількома найближчими сусідами починає кожен вузол (від 2 до 10, завжди парне), а p задає імовірність перезв'язування від 0 до 1. Зміна N або k перебудовує решітку, а пересування p повторно запускає перезв'язування і наживо переобчислює статистику.
Коефіцієнт кластеризації вузла — це частка пар його сусідів, які також безпосередньо з'єднані, що обчислюється як 2, помножене на кількість зв'язків між сусідами, поділене на k, помножене на k мінус один. C — це середнє цього значення по всіх вузлах у діапазоні від 0 до 1. Високе C означає, що ваші друзі схильні знати одне одного.
L — це середня кількість ребер на найкоротшому маршруті між парами вузлів, знайдена шляхом запуску пошуку в ширину з кожного вузла-джерела. Для швидкості симуляція вибирає до 20 вузлів-джерел замість усіх, що дає точну оцінку L без обчислення кожної пари на більших графах.
При малому, але ненульовому p лише кілька далекосяжних ярликів різко скорочують середню довжину шляху L, тоді як локальна кластеризація C майже не падає. Мережа зберігає свої згуртовані околиці, але стає глобально прохідною за дуже малу кількість кроків. Значок позначає цей режим, коли p приблизно між 0,01 і 0,3.
Це кластеризація та довжина шляху, поділені на їхні значення для початкової неперезв'язаної решітки (p = 0). Побудова цих нормованих співвідношень виявляє характерний провал малого світу: L/L0 стрімко падає зі зростанням p, тоді як C/C0 залишається близьким до одиниці аж до значно більших p, лишаючи широкий розрив між двома кривими.
Так, вона дотримується стандартної процедури Воттса-Строгатца: k-правильна кільцева решітка, перезв'язана ребро за ребром з імовірністю p. Формули кластеризації та довжини шляху BFS точні, хоча довжина шляху використовує випадкову вибірку джерел задля продуктивності, тож значення трохи коливаються між запусками з тими самими налаштуваннями.
Це популярна ідея про те, що будь-які двоє людей пов'язані через ланцюжок із приблизно шести знайомих. Структура малого світу робить це правдоподібним: розріджена соціальна мережа лише з помірними випадковими далекосяжними зв'язками має середню довжину шляху, яка зростає дуже повільно, приблизно логарифмічно, з розміром популяції.
Їх знаходять у багатьох системах, зокрема в нейронних з'єднаннях мозку, енергомережі, графі співпраці акторів, Всесвітній павутині та мережах білкових взаємодій. Структура підтримує швидке поширення інформації чи сигналу, водночас зберігаючи надійні локальні спільноти, тому вона так широко повторюється в природі й технологіях.