Кватерніони q = w + xi + yj + zk компактно описують обертання у 3D без ефекту гімбального замка. Задайте вісь і кут обертання, стежте за живими компонентами кватерніона, змішуйте дві орієнтації сферичною лінійною інтерполяцією (слерп) або перемкніться на кути Ейлера, щоб побачити гімбальний замок.
Цей інструмент візуалізує кватерніон — чотирикомпонентне число q = w + xi + yj + zk, яке математики та інженери використовують для представлення обертання у 3D без сингулярностей кутів Ейлера. Задайте вісь і кут, щоб побудувати обертання напряму, стежте за живими компонентами кватерніона, плавно змішуйте дві збережені орієнтації сферичною лінійною інтерполяцією або перемкніться на демонстрацію гімбального замка, щоб побачити, як кути Ейлера можуть втратити ступінь свободи.
Кольоровий куб зі стрілками осей X/Y/Z (червона/зелена/синя) обертається шляхом безпосереднього встановлення його кватерніона з осі (нормалізованої з повзунків X/Y/Z) і кута через w = cos(θ/2) і (x,y,z) = sin(θ/2)·вісь. Панель статистики завжди показує поточні компоненти w, x, y, z із чотирма знаками після коми.
Перетягуйте повзунки Вісь X/Y/Z і Кут, щоб переорієнтувати гізмо. Натисніть «Задати як орієнтацію A» та «Задати як орієнтацію B», щоб зафіксувати дві пози, а потім «Відтворити слерп», щоб анімувати плавний перехід між ними без стрибків. Увімкніть демонстрацію гімбального замка, щоб керувати тим самим гізмо кутами Тангаж/Рискання/Крен, і спостерігайте, як індикатор ризику гімбального замка перемикається на ВИСОКИЙ поблизу ±90° тангажу.
Гімбальний замок — не збій симуляції, а реальне механічне й математичне явище, яке вплинуло на гімбали космічних апаратів епохи «Аполлона». Кватерніони відкрив Вільям Роуан Гамільтон у 1843 році під час прогулянки вздовж Королівського каналу в Дубліні, і він настільки був захоплений, що вирізьбив фундаментальну формулу i²=j²=k²=ijk=−1 на камені мосту Брум-Брідж.
Кватерніон — це чотирикомпонентне число вигляду q = w + xi + yj + zk, де w — скалярна (дійсна) частина, а x, y, z утворюють векторну (уявну) частину. Одиничний кватерніон, у якому w²+x²+y²+z²=1, може представляти будь-яке обертання у 3D: векторна частина кодує вісь обертання, а скалярна частина кодує половину кута обертання.
Маючи одиничну вісь обертання (x, y, z) і кут θ, кватерніон обертання отримують так: w = cos(θ/2), а векторна частина дорівнює sin(θ/2), помноженому на вісь. Саме це перетворення вісь-кут у кватерніон обчислюють у реальному часі повзунки Вісь X/Y/Z і Кут у цій симуляції.
Гімбальний замок виникає під час використання кутів Ейлера (тангаж, рискання, крен), коли одна вісь обертання вирівнюється з іншою, через що два з трьох обертальних ступенів свободи зливаються в один, назавжди втрачаючи можливість незалежно обертатися навколо однієї осі. Кватерніони уникають цього, оскільки представляють орієнтацію як єдину точку на поверхні 4D одиничної сфери, без окремих осей, які можуть вирівнятися чи вироджуватися.
Слерп (сферична лінійна інтерполяція) змішує два кватерніони орієнтації вздовж найкоротшої дуги на 4D одиничній сфері, забезпечуючи обертання зі сталою кутовою швидкістю без стрибків чи спотворень. Лінійна інтерполяція «сирих» чисел w, x, y, z натомість вивела б результат за межі поверхні сфери, вимагаючи повторної нормалізації та даючи нерівномірне обертання зі змінною швидкістю.
Кватерніони — стандартний спосіб відстежувати орієнтацію в 3D-графічних рушіях, відеоіграх, робототехніці, дронах, системах керування орієнтацією космічних апаратів і гарнітурах віртуальної реальності, оскільки вони компактні, чисельно стабільні, вільні від гімбального замка та плавно інтерполюються — усі ці властивості роблять їх кращими за матриці обертання чи кути Ейлера для відстеження орієнтації в реальному часі.