Сфера · Площина · Сідло · Циліндр · Тор — забарвлені за справжньою кривиною
Гаусова кривина K вимірює, як поверхня вигинається в кожній точці, перемножуючи її дві головні кривини (максимальний і мінімальний вигин у перпендикулярних напрямках). Сфера вигинається однаково в кожному напрямку, даючи сталу додатну кривину K = 1/R². Сідло вигинається протилежно вздовж двох своїх осей — вгору в один бік, вниз в інший — даючи від'ємну кривину. Плоска площина і, що дивно, циліндр обидва мають K = 0: циліндр сильно вигинається в одному напрямку, але зовсім не вздовж своєї довжини, а оскільки K перемножує дві головні кривини, одна з яких нуль, робить добуток нулем, навіть якщо поверхня явно виглядає "вигнутою" для ока.
Приклад циліндра розкриває глибоку відмінність між внутрішньою та зовнішньою кривиною. Гаусова кривина є внутрішньою — двовимірна істота, що живе на поверхні, могла б виміряти її суто вимірюючи відстані та кути в межах поверхні, без жодного поняття про 3D простір, у якому вона розташована. Саме тому можна згорнути плоский аркуш паперу в циліндр без розтягування (обидва мають K = 0), але ніколи не можна розгорнути сферу без розривання чи спотворення (K ≠ 0 для сфери, K = 0 для площини — вони внутрішньо різні).
Карл Фрідріх Гаусс назвав своє відкриття 1827 року, що кривина є внутрішньою, Theorema Egregium — латиною "чудова теорема" — тому що було справді дивно, що суто локальна, заснована на відстані величина могла бути такою фундаментальною. Це пояснює, чому кожна плоска карта круглої Землі має щось спотворювати (площу, кут чи відстань), оскільки поверхню сфери неможливо відобразити на площину без зміни внутрішніх вимірювань. Та сама ідея пояснює, чому шматок піци, що тримається плоско, провисає вниз: легке згинання змушує кривину вздовж згину бути ненульовою, що, щоб зберегти загальну гаусову кривину узгодженою, вирівнює (жорсткить) кривину вздовж довжини шматка, тримаючи його жорстким.
Цей симулятор рендерить п'ять класичних поверхонь у вигляді обертових, забарвлених 3D сіток. У кожній вершині сітки він обчислює справжню формулу гаусової кривини для параметризації цієї поверхні — не наближення — і відображає значення на синьо-біло-червону кольорову шкалу.
Кожна поверхня вибирається на сітці параметрів (u, v); кривина обчислюється аналітично (стала 1/R² для сфери, формула кривини графіка для сідла, тотожно нуль для площини й циліндра, і cos(v) / (r(R + r·cos v)) для тора), а не оцінюється чисельно.
Виберіть поверхню, перетягніть для обертання або увімкніть авто-обертання, і збільшіть Роздільну здатність для точнішої сітки. Перемкніться на тор і перемістіть повзунок відношення r/R, щоб спостерігати, як зсуваються смуги додатної (зовнішньої) та від'ємної (внутрішньої) кривини.
Циліндр має нульову гаусову кривину всюди, точно як плоска площина, що є саме тим, чому можна згорнути аркуш паперу в трубу без розтягування чи розривання.
Гаусова кривина — це добуток двох головних кривин. Циліндр вигинається навколо свого кругового перерізу, але цілком прямий вздовж своєї довжини, тож одна головна кривина дорівнює нулю. Множення на нуль дає K = 0 всюди, навіть якщо поверхня видимо зігнута в 3D просторі.
Внутрішні властивості можна виміряти повністю в межах поверхні, використовуючи лише відстані та кути вздовж неї, без посилання на те, як поверхня розташована в 3D просторі. Гаусс довів, що гаусова кривина внутрішня, тож плоска площина та циліндр внутрішньо ідентичні (обидва K = 0), навіть якщо циліндр виглядає вигнутим ззовні.
На зовнішньому обідку тора поверхня випинається назовні в обох напрямках, як сфера, даючи додатну K. На внутрішньому обідку вона вигинається як сідло, випинаючись в один бік і стискаючись в інший, даючи від'ємну K. Формула K = cos(v) / (r(R + r·cos v)) відображає це: cos(v) додатний на зовнішньому обідку та від'ємний на внутрішньому.
Сфера має сталу додатну гаусову кривину, тоді як плоска карта має нульову кривину. Оскільки гаусова кривина внутрішня і зберігається лише перетвореннями, що зберігають відстані, жодна плоска карта не може представити сферу без спотворення принаймні одного з площі, кута чи відстані.
Це результат Гаусса 1827 року, що доводить, що гаусова кривина залежить лише від вимірювань, взятих у межах самої поверхні, а не від того, як вона занурена в 3D простір. Назва означає "чудова теорема" латиною, відображаючи, наскільки несподіваним був цей результат на той час.