Знакові статті з симуляцій

Запровадив метод напівлагранжевої адвекції для симуляції нестисливих рідин. Замінює явне інтегрування за часом (яке вимагає крихітного dt) кроком адвекції зі зворотним трасуванням, що безумовно стійкий за будь-якого кроку часу. У поєднанні з проєкцією тиску через розкладання Гельмгольца це основа більшості рідинних симуляторів реального часу.

Запровадив FLIP (Fluid-Implicit-Particle) — гібридний лагранжево-ейлерів метод. Частинки несуть швидкість; сітка обробляє тиск і без­дивергентну проєкцію. Кожен крок: перенести швидкості частинок на сітку (P2G), спроєктувати, перенести назад (G2P), адвектувати частинки. Дає значно менше числової дифузії, ніж суто сіткові методи.

Зробив SPH практичним для графіки реального часу. Запровадив ядро poly6 для густини, гостре ядро (spiky) для градієнта тиску (запобігає злипанню частинок) та ядро вʼязкості для згладжування швидкостей. Визначив повний конвеєр SPH: знайти сусідів → обчислити густину → обчислити сили → проінтегрувати.

Застосовує Position Based Dynamics (PBD) до рідин у стилі SPH. Замість інтегрування на основі сил безпосередньо розвʼязує обмеження густини на позиціях частинок. Дуже стійкий, витримує великі кроки часу, сумісний з PBD-конвеєром для тканини/твердих тіл. Запроваджує член корекції розтягувальної нестабільності (штучний тиск).

Розвʼязав проблему жорсткості в симуляції тканини за допомогою неявного інтегрування. Попередні явні методи вимагали крихітних кроків часу, щоб уникнути «вибуху» від жорстких пружинних сил. Неявний метод розвʼязує лінійну систему рівнянь на кожному кроці часу, дозволяючи dt до 50× більший і зберігаючи стійкість. Основа сучасної симуляції тканини у VFX.

Замінив симуляцію на основі сил прямою проєкцією обмежень на позиції. Безумовно стійкий, зручний для художників (обмеження — це зрозумілі геометричні умови) та достатньо швидкий для ігор. Обробляє тканину, мʼякі тіла, тверді тіла, рідини (PBF) і троси в єдиному фреймворку. Використовується в Nvidia PhysX, Unity, Unreal.

Формалізував симуляцію твердих тіл на основі імпульсів. Коли два тверді тіла стикаються, обчислюється імпульс j = −(1+e)·v_rel·n / (1/m₁ + 1/m₂ + n·(I₁⁻¹(r₁×n)×r₁ + ...)). Імпульс застосовується до обох тіл. Обробляє відновлення (e) і тертя в єдиному фреймворку.

Запровадив послідовний імпульс (SI) і «теплий старт» для розвʼязувачів звʼязків. Основа Box2D, Bullet і більшості ігрових фізичних рушіїв. SI послідовно проходить усі звʼязки, застосовуючи коригувальні імпульси, і збігається за 8–20 ітерацій. «Теплий старт» повторно використовує імпульси попереднього кадру як початкове наближення, зменшуючи потрібну кількість ітерацій.

Знизив складність гравітаційної симуляції N тіл з O(n²) до O(n log n). Будується октодерево (3D) або квадродерево (2D) над усіма частинками. Для кожної частинки, якщо комірка достатньо далеко (d/l < θ, зазвичай θ=0.5), уся комірка трактується як одна маса в її центрі мас. Інакше — рекурсивний спуск до нащадків.

Запровадив просторове хешування як O(n)-альтернативу просторовим деревам для рівномірних розподілів частинок. Координата 3D-комірки відображається в індекс хеш-таблиці за допомогою хеш-функції з великими простими числами. Кожна комірка зберігає список частинок. Для кожної частинки перевіряються лише 3³=27 сусідніх комірок.

Ґрунтовний огляд, що утвердив LBM як мейнстрімний метод CFD. LBM оперує дискретною функцією розподілу швидкостей f_i(x, t) на сітці. Дві операції: зіткнення (релаксація f до рівноваги через BGK) і стримінг (поширення f_i до сусіда в напрямку i). Макроскопічні ρ та u відновлюються з моментів f.

Математично показав, що дві взаємодійні речовини (активатор + інгібітор) можуть спонтанно утворювати просторові патерни з однорідного стану, якщо вони мають різну швидкість дифузії. Ця «нестабільність Тюрінга» пояснює патерни забарвлення тварин (смуги, плями), формування пальців і багато біологічних структур.

Визначили модель Грея-Скотта — два звʼязані РДП з параметрами підживлення (F) і знищення (k), що породжують багатий «зоопарк» патернів залежно від простору параметрів F-k. Автокаталітичний член u·v² створює динаміку активатор-інгібітор. Плями, смуги, черви, корал, мітоз — усе з двох рівнянь.

Запровадив боїдів — три прості правила (розділення, вирівнювання, згуртування), що породжують емерджентну зграйну поведінку. Кожен боїд враховує лише своє локальне оточення; глобальної комунікації немає. Основа всієї симуляції натовпу, симуляції трафіку та роєвого ШІ.

Гра «Життя» Конвея — канонічний клітинний автомат. Бінарні стани, локальні правила для 8 сусідів, повна за Тюрінгом, самовідтворювані структури. Продемонструвала, що складність виникає з крайньої простоти. Вплинула на покоління симуляцій, ШІ (нейронні КА) та теоретичну інформатику.

Розширив боїдів поведінкою керування рухом: пошук, втеча, прибуття, переслідування, ухиляння, обхід перешкод, слідування шляхом, розділення. Формалізовано як силові поля на швидкість. Стандартний словник руху ігрового ШІ.