Формули ігрової фізики — шпаргалка

1. Кінематика та закони Ньютона

2. Імпульс та обробка зіткнень

Коли два тверді тіла стикаються в точці контакту P, ми прикладаємо імпульс J уздовж нормалі контакту n̂.

function resolveCollision(bodyA, bodyB, contact) {
  const n = contact.normal; // одинична нормаль A→B
  const rA = contact.point.sub(bodyA.pos);
  const rB = contact.point.sub(bodyB.pos);
  const vRel = bodyA.vel.add(rA.cross(bodyA.angVel))
                  .sub(bodyB.vel).sub(rB.cross(bodyB.angVel));
  const vn = vRel.dot(n);
  if (vn >= 0) return; // розходяться — пропустити
  const e = 0.7;
  const rAxN = rA.cross(n), rBxN = rB.cross(n);
  const K = bodyA.invMass + bodyB.invMass
          + rAxN.dot(bodyA.invInertia.mulVec(rAxN))
          + rBxN.dot(bodyB.invInertia.mulVec(rBxN));
  const j = -(1 + e) * vn / K;
  bodyA.vel = bodyA.vel.add(n.scale(j * bodyA.invMass));
  bodyB.vel = bodyB.vel.sub(n.scale(j * bodyB.invMass));
  bodyA.angVel = bodyA.angVel.add(bodyA.invInertia.mulVec(rAxN).scale(j));
  bodyB.angVel = bodyB.angVel.sub(bodyB.invInertia.mulVec(rBxN).scale(j));
}

3. Тертя та контактні сили

4. Системи пружина-демпфер

Обертальна пружина (крутильна)

// Сила пружини-демпфера між двома з'єднаними тілами
function springDamper(posA, posB, velA, velB, restLength, k, c) {
  const delta = posB.sub(posA);
  const dist  = delta.length();
  if (dist < 1e-8) return Vec3.zero;
  const dir   = delta.scale(1/dist);
  const stretch = dist - restLength;
  const relVel  = velB.sub(velA).dot(dir); // знакова швидкість уздовж пружини
  const force   = k * stretch + c * relVel;
  return dir.scale(force); // застосувати до A; для B змінити знак
}

5. Динаміка твердих тіл

Інтегрування кватерніонів

function integrateRigidBody(body, dt) {
  // Оновити лінійний стан
  body.vel.addScaledVector(body.force,  body.invMass  * dt);
  body.pos.addScaledVector(body.vel,    dt);
  // Оновити кутовий стан
  body.angVel.addScaledVector(body.torque, body.invInertiaWorld * dt); // спрощений скаляр
  // Інтегрувати кватерніон
  const dq = new Quaternion(0, body.angVel.x, body.angVel.y, body.angVel.z)
               .multiply(body.orient).scale(0.5 * dt);
  body.orient.add(dq).normalize();
  // Скинути сили
  body.force.set(0,0,0);
  body.torque.set(0,0,0);
}

6. Довідник тензорів інерції

Усі тензори діагональні у власному просторі тіла (вирівняні з осями симетрії). R = радіус, L = довжина, a/b/c = піврозміри.

Суцільна куля (маса m, радіус R)

Порожниста сфера (тонка оболонка)

Суцільний циліндр (вісь уздовж z, радіус R, висота H)

Суцільний паралелепіпед (піврозміри a, b, c уздовж x, y, z)

Суцільний конус (радіус R, висота H, вершина вгорі, основа центрована)

Тонкий стрижень (довжина L, вісь уздовж z)

7. Числове інтегрування

8. Сили обмежень та з'єднання

Обмеження зменшують ступені свободи, прикладаючи коригувальні імпульси на кожному кроці часу. Якобіан обмеження J відображає похибку обмеження на узагальнені сили.