Стаття
Аерокосмічна інженерія · ⏱ ≈ 13 хв читання · Останнє оновлення: 23 червня 2026 р.

Рівняння Ціолковського для ракети — математика виходу на орбіту

Костянтин Ціолковський вивів своє рівняння ракети 1903 року, за десятиліття до першого польоту рідкопаливної ракети. Воно розкриває жорстоку експоненційну тиранію: кожен кілограм корисного вантажу, який ви хочете вивести на орбіту, потребує близько 20 кілограмів палива на стартовому майданчику. Розуміння цього рівняння — та способів його обійти через багатоступеневість, вибір палива та гравітаційні маневри — є основою всього аналізу космічних польотів.

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

1. Виведення із третього закону Ньютона

Ракета прискорюється, викидаючи масу назад. У момент t ракета має масу m і швидкість v. Вона викидає паливо зі швидкістю витоку v_e відносно ракети:

Імпульс системи в момент t: p = m·v У момент t+dt: ракета має масу (m−dm), паливо (−dm) на v−v_e Імпульс: (m−dm)(v+dv) + (−dm)(v−v_e) Збереження (немає зовнішньої сили): m·v = (m−dm)(v+dv) − dm(v−v_e) 0 = m·dv − v_e·dm (розкриваючи, відкидаючи dm·dv) m·dv = v_e·dm ← диференціальна форма рівняння ракети Інтегруючи від m₀ (повна) до m_f (порожня): Δv = v_e · ln(m₀/m_f) Рівняння Ціолковського для ракети: Δv = v_e · ln(m₀/m_f) = Isp · g₀ · ln(m₀/m_f)

2. Питомий імпульс

Питомий імпульс I_sp — це тяга, що створюється на одиницю ваги палива, спожитого за секунду — «паливна ефективність» ракетного двигуна:

Isp = F_thrust / (ṁ · g₀) [одиниці: секунди] Еквівалентно: v_e = Isp · g₀ → Δv = Isp·g₀·ln(m₀/m_f) g₀ = 9.80665 m/s² Типові значення Isp: Двигун на холодному газі (N₂): 50–75 s Твердопаливна ракета: 250–290 s (прискорювачі шатла SRB: 269 s) RP-1 / LOX (Merlin): 282 s (рівень моря), 311 s (вакуум) LH₂ / LOX (SSME): 366 s (рівень моря), 453 s (вакуум) ← найкраще в аерокосмосі Іонний двигун (ксенон): 1 500–10 000 s (дуже мала тяга) NTR (ядерний термічний): 800–1 000 s (запропоновано)

3. Масове число та проблема експоненти

Щоб досягти орбітальної швидкості (~9.4 km/s із втратами), переставлення дає потрібне масове число:

m₀/m_f = e^(Δv / v_e) Приклад для НОО (RP-1/LOX, Isp=311 s, v_e=3 050 m/s): Δv_потрібне ≈ 9 400 m/s m₀/m_f = e^(9400/3050) ≈ e^3.08 ≈ 21.8 → На кожен 1 kg кінцевої (сухої) маси потрібно 21.8 kg на старті → Структурна маса ~8% від повної маси → частка корисного вантажу ≈ 1.5–3% LH₂/LOX (v_e=4 420 m/s): m₀/m_f = e^(9400/4420) ≈ e^2.13 ≈ 8.4 ← набагато краще! Ця експоненційна чутливість і є «тиранією рівняння ракети».

4. Багатоступеневість: подолання експоненти

Скидаючи порожні паливні баки та двигуни (структурну масу), багатоступеневість примножує ефективне масове число:

N-ступенева ракета: Δv_total = Σᵢ vₑᵢ · ln(m₀ᵢ/m_fᵢ) Приклад двох ступенів (кожен ступінь Isp=311s, масове число=5): Δv_total = 2 × 3050 × ln(5) = 9 825 m/s ✓ Проти одного ступеня з тим самим повним масовим числом: m₀/m_f = 25 → Δv = 3050 × ln(25) = 9 823 m/s Але багатоступеневість дає масове число 25 із набагато меншим структурним штрафом: Одноступеневий циліндр: переважає частка бака+двигуна Два ступені: кожен ступінь потребує лише масового числа 5 → реалізовна конструкція! Falcon 9 (два ступені): ступінь 1 Isp≈311s + ступінь 2 Isp≈348s Корисний вантаж на НОО: ~22 700 kg (одноразова) Saturn V (3 ступені, верхній LH₂): корисний вантаж на TLI: ~47 000 kg

5. Гравітаційні втрати та втрати на опір

Реальний бюджет Δv для НОО: Орбітальна швидкість: ~7 800 m/s Гравітаційна втрата (≈ g·t_burn): +1 500 m/s (тяга не горизонтальна) Втрата на опір: +100–150 m/s Втрата на керування: +50 m/s Загальне потрібне Δv: ~9 400–9 700 m/s Мінімізація гравітаційної втрати: швидко виконати нахил («гравітаційний поворот»), щоб мінімізувати час тяги вертикально → якомога безпечніше та швидше обмінювати висоту на швидкість. Мінімізація втрати на опір: не летіти надто швидко в густій атмосфері → обмеження Max-q Falcon 9 знижує тягу під час Max-q (висота ~13 km)

6. Вибір палива

RP-1 / LOX

Очищений гас + рідкий кисень. Густе (велика маса палива на об'єм бака), просте в обслуговуванні. Isp ≈ 311 s у вакуумі. Falcon 9, перший ступінь Saturn V.

LH₂ / LOX

Рідкий водень + кисень. Найвищий Isp ≈ 453 s у вакуумі. Але густина LH₂ дуже низька → величезні баки, складне кріогенне обслуговування. SSME, ядро SLS.

CH₄ / LOX

Метан + кисень. Isp ≈ 363 s у вакуумі. Густіший за LH₂, простіший за LH₂, може вироблятися на Марсі. SpaceX Raptor, Blue Origin BE-4.

N₂O₄ / UDMH

Зберігані гіперголіки (займаються при контакті). Без кріогеніки, чудові для тривалих місій. Isp ≈ 315 s у вакуумі. Використовуються у двигунах RCS та ракеті «Протон».

7. Симулятор ракети на JavaScript

// Симулятор ракети Ціолковського з гравітацією + опором
function simulateRocket({
  m_dry,       // суха маса [kg]
  m_prop,      // маса палива [kg]
  Isp,         // питомий імпульс [s]
  thrust,      // тяга [N]
  dt = 0.5,    // крок часу [s]
  Cd = 0.3,    // коефіцієнт опору
  A = 10       // площа перерізу [m²]
}) {
  const g0 = 9.80665, R_E = 6.371e6;
  const ve = Isp * g0;
  const mdot = thrust / ve; // масова витрата [kg/s]
  let m = m_dry + m_prop;
  let v = 0, alt = 0;
  let t = 0;
  const log = [];

  while (m > m_dry + 0.1 && alt >= 0) {
    const g = g0 * (R_E / (R_E + alt)) ** 2;
    const rho = 1.225 * Math.exp(-alt / 8500); // експоненційна атмосфера
    const drag = 0.5 * rho * Cd * A * v * Math.abs(v);
    const F_net = thrust - m * g - drag;
    const a = F_net / m;
    v += a * dt;
    alt += v * dt;
    m -= mdot * dt;
    t += dt;
    log.push({t, alt, v, m});
  }
  return log;
}

// Наближення першого ступеня Falcon 9
const flight = simulateRocket({
  m_dry:   25 600,    // kg
  m_prop: 395 700,    // kg RP-1 + LOX
  Isp:         282,    // середнє на рівні моря
  thrust:  7_607_000, // N (9 двигунів Merlin)
  dt: 0.5
});
const meco = flight[flight.length - 1];
console.log(`MECO: alt=${(meco.alt/1000).toFixed(1)} km, v=${meco.v.toFixed(0)} m/s`);

// Ідеальне (вакуум, без гравітації):  Δv = Isp·g₀·ln(m₀/m_f)
const deltaV_ideal = 311 * 9.80665 * Math.log((25600+395700) / 25600);
console.log(`Ideal Δv = ${(deltaV_ideal/1000).toFixed(2)} km/s`); // ~9.4 km/s

8. Реальні ракети та проєктування місій

🚀 Відкрити орбітальну механіку →