Статистична механіка
Червень 2026 · 16 хв читання · Ентропія · Фазові переходи · Універсальність · Останнє оновлення: 22 червня 2026 р.

Статистична механіка — Больцман, ентропія та фазові переходи

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

Термодинаміка каже нам, що пара, конденсуючись у воду, вивільняє приховане тепло і що ентропія зростає в ізольованих системах. Статистична механіка пояснює чому — показуючи, що макроскопічні закони виникають з колективної поведінки величезної кількості мікроскопічних складників. Мостом між ними є прозріння Больцмана, що ентропія рахує кількість мікроскопічних розташувань, сумісних з тим, що ми спостерігаємо.

1. Мікроканонічний ансамбль

Статистична механіка спирається на один фундаментальний постулат: для ізольованої системи в рівновазі з фіксованою енергією E, об'ємом V і кількістю частинок N усі доступні мікростани є рівноймовірними. Це постулат рівних апріорних імовірностей, і саме він є відправною точкою для кожного ансамблю в статистичній механіці.

Мікростан — це найповніший опис системи: для класичного газу з N частинок це набір усіх 3N координат і 3N імпульсів {q₁,…,q_N; p₁,…,p_N} — точка у 6N-вимірному фазовому просторі. Макростан — це узагальнений опис, заданий невеликою кількістю термодинамічних змінних (E, V, N). Кількість мікростанів, сумісних із заданим макростаном, дорівнює Ω(E, V, N).

Мікроканонічний ансамбль описує ізольовану систему: ймовірність кожного мікростану з енергією в [E, E + δE] дорівнює:

P_i = 1/Ω(E, V, N) для всіх доступних мікростанів i Ω(E, V, N) = кількість мікростанів з енергією в [E, E + δE]

З цього температура визначається як:

1/T = ∂S/∂E |_{V,N} де S = k_B ln Ω Це статистичне визначення температури точно узгоджується з термодинамічним визначенням у стані рівноваги.

2. Ентропія Больцмана: S = k_B · ln(Ω)

Наріжним каменем статистичної механіки є формула Больцмана:

S = k_B · ln Ω k_B = 1,380649 × 10⁻²³ Дж/К (стала Больцмана) Ω = кількість доступних мікростанів (безрозмірне ціле число)

Логарифм обрано з важливої причини: коли дві незалежні системи A і B об'єднуються, їхні мікростани перемножуються (Ω_{A+B} = Ω_A × Ω_B), але ентропія має додаватися (S_{A+B} = S_A + S_B). Логарифм перетворює множення на додавання: ln(Ω_A × Ω_B) = ln Ω_A + ln Ω_B.

Другий закон — ентропія ніколи не зменшується в ізольованій системі — випливає безпосередньо з того факту, що системи еволюціонують у бік макростанів із більшою кількістю мікростанів (просто тому, що системи, які випадково еволюціонують, з переважною ймовірністю опиняються в областях фазового простору з високою кратністю). Для 1 моля газу, що розширюється з V до 2V:

ΔS = N_A k_B ln(2V/V) = R ln 2 ≈ 5,76 Дж/(моль·К) Кількість мікростанів зростає у 2^N_A ≈ 10^(1,8×10²³) разів Ймовірність спонтанного стиснення назад: (1/2)^N_A ≈ 10^(−5,4×10²²)

Ця астрономічна неймовірність і є причиною того, чому ми ніколи не спостерігаємо, як гази спонтанно концентруються в одній половині посудини — хоча закони механіки цього й не забороняють.

Ентропія Гіббса: Більш загальне формулювання, що належить Гіббсу, застосовується до довільних розподілів ймовірностей за мікростанами: S = −k_B Σ_i p_i ln p_i. Для мікроканонічного ансамблю (усі p_i = 1/Ω) це зводиться до S = k_B ln Ω. Для квантових систем це стає ентропією фон Неймана S = −k_B Tr(ρ ln ρ), де ρ — матриця густини.

3. Канонічний ансамбль і статистична сума

Система в контакті з тепловим резервуаром при температурі T вільно обмінюється енергією, але зберігає фіксовані N і V. Це канонічний ансамбль. Ймовірність того, що система перебуває в мікростані i з енергією E_i, дорівнює:

P_i = exp(−βE_i) / Z де β = 1/(k_B T) Z = Σ_i exp(−βE_i) (канонічна статистична сума)

Фактор Больцмана exp(−βE_i) сильніше зважує низькоенергетичні стани при низькій температурі (при T → 0 заповнений лише основний стан) і розподіляє вагу більш рівномірно при високій температурі (при T → ∞ усі стани рівноймовірні).

Статистична сума Z — центральний об'єкт канонічного ансамблю — генеруюча функція, з якої всі термодинамічні величини випливають взяттям похідних. Вона кодує всю термодинамічну інформацію системи.

Вільна енергія

Вільна енергія Гельмгольца: F = −k_B T ln Z = U − TS Мінімізація F (а не U) визначає рівновагу при фіксованих T, V, N. Вільна енергія Гіббса: G = F + PV = U − TS + PV (фіксовані T, P) Хімічний потенціал: μ = ∂F/∂N |_{T,V}

Важливість статистичної суми важко переоцінити: щойно Z обчислено як функцію T, V і N, уся термодинаміка системи випливає диференціюванням. Для ідеального газу з N однакових класичних частинок:

Z_N = (1/N!) · [V · (2πmk_BT/h²)^(3/2)]^N F = −Nk_BT [ln(V/N) + (3/2)ln(2πmk_BT/h²) + 1] P = −∂F/∂V = Nk_BT/V → закон ідеального газу PV = Nk_BT ✓ U = −∂lnZ/∂β = (3/2)Nk_BT → теорема про рівнорозподіл ✓

4. Термодинамічні середні зі статистичної суми

Статистична сума генерує термодинамічні середні через диференціювання за β = 1/(k_BT):

Середня енергія: <E> = −∂ ln Z/∂β = Σ_i E_i · exp(−βE_i) / Z Флуктуації енергії: <(ΔE)²> = <E²> − <E>² = ∂²ln Z/∂β² = k_B T² · C_V де C_V = ∂<E>/∂T — теплоємність при сталому об'ємі. Ентропія: S = k_B (ln Z − β ∂ln Z/∂β) = k_B ln Z + <E>/T

Відносна флуктуація енергії масштабується як:

ΔE_rms / <E> = √(k_B T² C_V) / <E> ∝ 1/√N Для N ~ 10²³ частинок: ΔE/<E> ~ 10⁻¹¹·⁵ ≈ 10⁻¹² → Термодинамічні змінні надзвичайно чітко визначені для макроскопічних систем.

Це показує, чому термодинаміка є точною для макроскопічних систем попри мікроскопічну випадковість: флуктуації пригнічуються √N і є непомітно малими для будь-якої кількості речовини лабораторного масштабу.

🔥
Симулятор двигуна Карно
Пройдіть ізотермічні та адіабатичні процеси і виміряйте зміни ентропії

5. Модель Ізінга

Модель Ізінга (Ленц 1920, Ізінг 1925) — канонічна модель статистичної механіки — досить проста, щоб розв'язати точно в 1D і 2D, але водночас достатньо багата, щоб охопити суттєву фізику фазових переходів, феромагнетизму та явищ порядок-безлад.

Модель складається з N спінів s_i = ±1, розташованих на решітці. Кожен спін взаємодіє зі своїми сусідами та зовнішнім полем h:

H = −J Σ_{<i,j>} s_i s_j − h Σ_i s_i J > 0: феромагнітний зв'язок (вирівняні спіни мають нижчу енергію) J < 0: антиферомагнітний зв'язок <i,j>: сума за парами найближчих сусідів Статистична сума: Z = Σ_{усі конфігурації спінів} exp(−βH) Намагніченість: m = <s_i> = (1/N) Σ_i <s_i>

Ключові результати за розмірністю:

🧲
Симулятор моделі Ізінга
Спостерігайте, як магнітні домени формуються, розчиняються й флуктуюють поблизу критичної температури

6. Фазові переходи та критичні явища

Фазовий перехід — це якісна зміна термодинамічного стану системи, коли керуючий параметр (температура, тиск, зовнішнє поле) перетинає критичне значення. Переходи класифікують за неперервністю вільної енергії:

Поблизу переходу другого роду фізичні величини підпорядковуються степеневим законам за зведеною температурою t = (T − T_c)/T_c:

Параметр порядку: m ~ |t|^β (β ≈ 0,326 для 3D Ізінга) Сприйнятливість: χ ~ |t|^{−γ} (γ ≈ 1,237 для 3D Ізінга) Довжина кореляції: ξ ~ |t|^{−ν} (ν ≈ 0,630 для 3D Ізінга) Питома теплоємність: C ~ |t|^{−α} (α ≈ 0,110 для 3D Ізінга) Кореляційна функція: G(r) ~ r^{−(d−2+η)} при T = T_c Скейлінгові співвідношення (не всі незалежні): α + 2β + γ = 2 (Рашбрук) γ = ν(2−η) (Фішер) dν = 2 − α (Джозефсонова гіпергіпотеза)

При T_c довжина кореляції ξ розходиться — флуктуації відбуваються на всіх масштабах довжини одночасно. Це критична опалесценція: рідина поблизу своєї критичної точки стає молочно-білою, бо флуктуації густини всіх розмірів розсіюють світло. Система стає самоподібною (фрактальною) у критичній точці.

7. Спонтанне порушення симетрії

Гамільтоніан Ізінга при h = 0 симетричний щодо перевертання всіх спінів (s_i → −s_i). Проте нижче T_c система розвиває ненульову намагніченість m ≠ 0, обираючи або фазу m > 0, або m < 0. Симетрія гамільтоніана «порушується» станом рівноваги — це спонтанне порушення симетрії (СПС).

СПС вимагає термодинамічної границі N → ∞. Для скінченного N справжній основний стан — суперпозиція двох намагнічених станів, і теплові флуктуації врешті переведуть систему між ними. Але для N ~ 10²³ час тунелювання між виродженими основними станами астрономічно довгий — симетрія фактично порушена.

Теорема Голдстоуна та бозони Намбу-Голдстоуна

Коли спонтанно порушується неперервна симетрія (а не дискретна симетрія ±1), теорема Голдстоуна гарантує існування безмасових збуджень — бозонів Намбу-Голдстоуна. Прикладів безліч:

8. Класи універсальності

Одне з найглибших відкриттів фізики XX століття полягає в тому, що настільки різні системи, як магніт, рідина поблизу точки кипіння, полімерний ланцюг і надпровідник, можуть мати ідентичні критичні показники. Це універсальність: критична поведінка залежить лише від просторової розмірності d і симетрії параметра порядку, а не від мікроскопічних деталей.

Основні класи універсальності (3D-системи): Ізінг (симетрія Z₂, скалярний параметр порядку): β ≈ 0,3264, γ ≈ 1,2372, ν ≈ 0,6300 Приклади: одновісні магніти, перехід рідина-газ, бінарні сплави XY (симетрія U(1), 2D векторний параметр порядку): β ≈ 0,3470, γ ≈ 1,3178, ν ≈ 0,6717 Приклади: надплинний He-4, феромагнетики з легкою площиною Гейзенберг (симетрія O(3), 3D векторний параметр порядку): β ≈ 0,3689, γ ≈ 1,3960, ν ≈ 0,7112 Приклади: ізотропні феромагнетики (залізо, нікель вище 150 K)

Універсальність пояснюється ренормалізаційною групою (РГ), розробленою Вілсоном (Нобелівська премія 1982). Ключова ідея: коли ми «віддаляємось» до довших масштабів довжини, ефективний опис системи тече до фіксованої точки в просторі всіх гамільтоніанів. Різні мікроскопічні системи одного класу універсальності течуть до тієї самої фіксованої точки — це і пояснює, чому вони мають спільні критичні показники.

РГ також пояснює, чому деякі мікроскопічні деталі є неістотними (вони зникають уздовж потоку), тоді як інші є істотними (вони визначають, який клас універсальності виникає). Розмірність d і група симетрії визначають істотні збурення — а отже, і клас універсальності.

Теорія середнього поля та верхня критична розмірність: Теорія середнього поля (теорія Ландау) ігнорує флуктуації й передбачає універсальні показники β = 1/2, γ = 1, ν = 1/2 для всіх систем. Вона стає точною вище верхньої критичної розмірності d_c (d_c = 4 для класу Ізінга), де флуктуації неістотні. Нижче d_c флуктуації важливі, і їх треба розглядати повною РГ — це дає нетривіальні, залежні від розмірності показники.
⚙️
Симулятор термодинаміки
Досліджуйте енергію, ентропію та ефективність теплового двигуна інтерактивно

Джерела

Пов'язані статті

Стоячі хвилі та резонанс: нормальні моди, візерунки Хладні та ШПФ Статистична механіка — від атомів до термодинаміки Еволюція зір — від туманності до наднової і далі Внутрішня будова зорі — як зорі витримують власну вагу Рівняння Лотки-Вольтерри — цикли популяцій хижак-жертва