Рівняння Максвелла та світло

1. Чотири рівняння Максвелла

У диференціальній формі (одиниці SI) рівняння Максвелла мають вигляд:

Геніальність доповнення Максвелла 1865 року — члена струму зміщення μ₀ε₀ ∂E/∂t — полягала в тому, щоб зробити закон Ампера самоузгодженим і — як прямий наслідок — передбачити, що змінні електричні поля породжують магнітні поля без жодного фізичного струму. Цей єдиний крок передбачив електромагнітні хвилі.

У вакуумі (ρ = 0, J = 0) рівняння чудово спрощуються — кожне поле зумовлюється виключно зміною в часі іншого.

2. Виведення хвильового рівняння

Беручи ротор закону Фарадея й підставляючи Ампера–Максвелла:

Це класичне хвильове рівняння зі швидкістю поширення:

Максвелл одразу впізнав у цьому швидкість світла, надавши перший теоретичний доказ того, що світло є електромагнітною хвилею. Аналогічне рівняння справджується для B. Обидва поля задовольняють однакові хвильові рівняння, а їхні розв'язки нерозривно пов'язані через закони Фарадея та Ампера.

3. Плоскі хвилі та вектор Пойнтінга

Найпростіший розв'язок — монохроматична плоска хвиля, що поширюється у напрямку z:

Ключові спостереження:

• E ⊥ B ⊥ k — обидва поля поперечні до напрямку поширення і перпендикулярні одне до одного.
• |B| = |E|/c — амплітуда магнітного поля в одиницях SI значно менша.
• У фазі — E і B коливаються синхронно (у вакуумі).

Потік електромагнітної енергії (потужність на одиницю площі) задається вектором Пойнтінга:

Тиск випромінювання на ідеальний поглинач становить ⟨S⟩/c — основа сонячних вітрил і лазерного захоплення частинок.

4. Стани поляризації

Поляризація описує орієнтацію вектора електричного поля:

Матриці Джонса дають змогу моделювати оптичні елементи (хвильові пластинки, дзеркала, світлоподільники) як множення комплексних матриць 2×2 на вектор Джонса, забезпечуючи стислий аналіз складної поляризаційної оптики.

5. Дисперсія та рівняння Селмеєра

У діелектричному середовищі вільні електрони матеріалу відгукуються на зовнішнє електричне поле. Показник заломлення n(λ) змінюється залежно від довжини хвилі — це дисперсія. Рівняння Селмеєра з високою точністю наближає виміряні дані:

Важливі похідні величини:

• Фазова швидкість: vₚ = c/n — швидкість, з якою просувається фронт хвилі.
• Групова швидкість: vᵍ = c/(n + ω dn/dω) — швидкість, з якою рухається енергія (імпульс).
• Дисперсія групової швидкості (GVD): β₂ = d²k/dω² — спричиняє розширення імпульсу в оптичних волокнах; критична у фемтосекундних лазерах.

Нормальна дисперсія (dn/dλ < 0) змушує синє світло рухатися повільніше за червоне — відповідає за призматичні веселки. Аномальна дисперсія поблизу резонансів поглинання змінює це на протилежне.

6. Коефіцієнти Френеля

На межі поділу середовищ із показниками n₁ та n₂ закон Снелла дає кут заломлення: n₁ sinθᵢ = n₂ sinθₜ. Амплітудні коефіцієнти відбиття та проходження випливають із граничних умов для E і B (тангенціальні до поверхні поля мають бути неперервними):

За кутом Брюстера (θ_B = arctan(n₂/n₁)), rₚ = 0 — відбите світло ідеально s-поляризоване. Повне внутрішнє відбиття відбувається за θᵢ > θ_c = arcsin(n₂/n₁), коли n₁ > n₂ — основа оптичних волокон.

7. JavaScript — візуалізатор полів E/B

Візуалізатор на основі canvas для лінійно поляризованої плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі x. E вертикальне (y), B горизонтальне (z).

// Анімація плоскої хвилі E(x,t) = E₀ sin(kx − ωt) за допомогою Canvas 2D
function PlaneWaveVis(canvas) {
  const ctx = canvas.getContext('2d');
  const W = canvas.width, H = canvas.height;
  const cx = H / 2;
  let t = 0;

  const LAMBDA = 100; // пікселів на довжину хвилі
  const OMEGA  = 0.05; // рад / кадр
  const AMP_E  = 60;
  const k = (2 * Math.PI) / LAMBDA;

  function drawArrow(x1, y1, x2, y2, color) {
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.lineWidth   = 1.5;
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1, y1);
    ctx.lineTo(x2, y2);
    ctx.stroke();
    const angle = Math.atan2(y2 - y1, x2 - x1);
    const len = 8;
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x2, y2);
    ctx.lineTo(x2 - len * Math.cos(angle - 0.4), y2 - len * Math.sin(angle - 0.4));
    ctx.moveTo(x2, y2);
    ctx.lineTo(x2 - len * Math.cos(angle + 0.4), y2 - len * Math.sin(angle + 0.4));
    ctx.stroke();
  }

  function frame() {
    ctx.clearRect(0, 0, W, H);
    ctx.fillStyle = '#0f172a';
    ctx.fillRect(0, 0, W, H);

    // вісь поширення
    ctx.strokeStyle = '#334155';
    ctx.lineWidth = 1;
    ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, cx); ctx.lineTo(W, cx); ctx.stroke();

    const STEP = 12;
    for (let x = 0; x < W; x += STEP) {
      const phase = k * x - OMEGA * t;
      const eY = AMP_E * Math.sin(phase);       // поле E (вертикальне)
      const bLen = (AMP_E / 3) * Math.sin(phase); // поле B (показано кольором)

      // вектор E (блакитний)
      drawArrow(x, cx, x, cx - eY, '#38bdf8');

      // вектор B (помаранчевий, спрямований «вглиб» екрана — показано точкою/хрестиком)
      const r = Math.abs(bLen) * 0.18;
      ctx.fillStyle = '#fb923c';
      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x, cx, Math.max(1.5, r), 0, Math.PI * 2);
      ctx.fill();
    }
    t++;
    requestAnimationFrame(frame);
  }
  frame();
}

// Показник заломлення за Селмеєром для BK7
function sellmeierBK7(lambdaMicron) {
  const l2 = lambdaMicron * lambdaMicron;
  return Math.sqrt(
    1
    + (1.03961 * l2) / (l2 - 0.00600)
    + (0.23179 * l2) / (l2 - 0.02001)
    + (1.01047 * l2) / (l2 - 103.56)
  );
}

// Коефіцієнт відбиття за Френелем за нормального падіння
function fresnelR(n1, n2) {
  return ((n2 - n1) / (n2 + n1)) ** 2;
}

// Приклад: повітря → скло BK7 за 589 нм (D-лінія натрію)
const n_bk7 = sellmeierBK7(0.589); // ≈ 1.5168
console.log(`n = ${n_bk7.toFixed(4)},  R = ${(fresnelR(1, n_bk7) * 100).toFixed(2)}%`);

Виконайте new PlaneWaveVis(document.querySelector('canvas')), щоб побачити анімовану хвилю. Кружечки поля B відображають величину компоненти поза площиною — блакитні стрілки є електричним полем.

8. Застосування та подальші теми

• Оптичні волокна: повне внутрішнє відбиття спрямовує світло крізь скляні серцевини з втратами < 0.2 dB/km на 1550 нм.
• Просвітлювальні покриття: чвертьхвильовий шар (товщина λ/4n) використовує фазову компенсацію за Френелем для усунення відбиттів.
• Радари та НВЧ-інженерія: рівняння Максвелла лежать в основі проєктування антен, хвилеводів і фазованих ґраток, що працюють на частотах ГГц.
• Фотонні кристали: періодичні діелектричні структури відкривають фотонні заборонені зони завдяки брегівському розсіянню електромагнітних хвиль.
• FDTD-симуляція: метод скінченних різниць у часовій області (Finite-Difference Time-Domain) дискретизує рівняння Максвелла на сітці Йі для симуляції довільних 3D-геометрій.
• Спеціальна теорія відносності: рівняння Максвелла за своєю природою лоренц-коваріантні — вони надихнули статтю Ейнштейна про спеціальну відносність 1905 року.