Розподіл Пуассона та процес Пуассона

1. Розподіл Пуассона

Дискретна випадкова величина X має розподіл Пуассона з параметром інтенсивності λ > 0, якщо вона рахує кількість подій у фіксованому інтервалі, коли події відбуваються незалежно з постійною середньою швидкістю:

λ одночасно є математичним сподіванням і дисперсією X — характерна ознака даних із розподілом Пуассона. Якщо ви щось рахуєте і вибіркова дисперсія близька до вибіркового середнього, Пуассон — природна перша модель.

2. Від біноміального до Пуассонового: граничний перехід

Поділимо інтервал на n дуже коротких підінтервалів, кожен настільки короткий, що в ньому може статися щонайбільше одна подія, з імовірністю p = λ/n. Кількість подій тоді має розподіл Binomial(n, p):

Візьмемо границю при n → ∞, тримаючи λ = np сталим. Розкриваючи біноміальний коефіцієнт і використовуючи стандартну границю (1 − λ/n)ⁿ → e^−λ:

Це закон рідкісних подій (граничну теорему Пуассона формалізував Сімеон Дені Пуассон у 1837 році): біноміальний розподіл із багатьма випробуваннями та малою ймовірністю успіху в кожному, але сталим добутком np = λ, збігається до Poisson(λ). На практиці апроксимація вже дуже точна при n ≥ 20, p ≤ 0.05.

3. Процес Пуассона та часи очікування

Процес Пуассона розширює розподіл на неперервний час. Це процес підрахунку N(t), що задовольняє три аксіоми:

• N(0) = 0, і прирости на неперетинних інтервалах незалежні.
• Кількість подій на інтервалі довжиною t має розподіл Poisson(λt).
• Події не можуть відбуватися одночасно (упорядкованість): P(2+ подій на [t, t+h]) = o(h).

Разючий наслідок: час між послідовними подіями — час між надходженнями — має експоненційний розподіл із тим самим параметром λ.

Оскільки експоненційний розподіл є «без пам'яті» — P(T > s+t | T > s) = P(T > t) — процес не «пам'ятає», скільки він уже чекав. Саме це робить процес Пуассона канонічною моделлю для надходжень, які справді випадкові й некорельовані.

4. Властивості: середнє, дисперсія, суперпозиція, проріджування

Суперпозиція

Якщо два незалежні процеси Пуассона з параметрами λ₁ та λ₂ об'єднати (наприклад, надходження від двох незалежних серверів в одну чергу), об'єднаний процес буде Пуассоновим з параметром λ₁ + λ₂. Це прямо випливає з адитивності незалежних Пуассонових випадкових величин: X₁ ~ Poisson(λ₁), X₂ ~ Poisson(λ₂) ⟹ X₁ + X₂ ~ Poisson(λ₁ + λ₂).

Проріджування

І навпаки, якщо кожна подія процесу Poisson(λ) незалежно залишається з ймовірністю p (наприклад, лише 10% вхідних запитів — помилки), залишені події утворюють процес Пуассона з параметром λp, а відкинуті — незалежний процес Пуассона з параметром λ(1−p). Ця властивість «розщеплення» унікальна для процесів Пуассона і активно використовується в аналізі мереж масового обслуговування.

5. Застосування

Найпростіша модель теорії черг — M/M/1 («марковські надходження, марковське обслуговування, 1 сервер») — припускає, що і надходження, і завершення обслуговування підпорядковуються процесам Пуассона. Саме тому процес Пуассона є відправною точкою для планування пропускної здатності серверів, кол-центрів та перехресть.

6. Реалізація на JavaScript

Вибірка з Poisson(λ) — алгоритм Кнута

// Кнут (1969): точний метод для малих-помірних λ. O(λ) часу на вибірку.
function samplePoisson(lambda) {
  const L = Math.exp(-lambda);
  let k = 0, p = 1;
  do {
    k++;
    p *= Math.random();
  } while (p > L);
  return k - 1;
}

Пряма симуляція процесу через експоненційні проміжки

// Генерує моменти надходження на [0, T] через точні експоненційні інтервали.
function simulatePoissonProcess(lambda, T) {
  const arrivals = [];
  let t = 0;
  while (true) {
    const u = Math.random();
    const gap = -Math.log(u) / lambda;  // експоненційний проміжок надходження
    t += gap;
    if (t > T) break;
    arrivals.push(t);
  }
  return arrivals;
}

// Перевірка: розбиваємо на одиничні інтервали — лічильники мають бути ~Poisson(lambda)
function countsPerUnitInterval(arrivals, T) {
  const bins = new Array(Math.ceil(T)).fill(0);
  for (const t of arrivals) bins[Math.floor(t)]++;
  return bins;
}

const arrivals = simulatePoissonProcess(4.5, 1000); // λ=4.5 подій/одиницю часу
const counts   = countsPerUnitInterval(arrivals, 1000);
const mean     = counts.reduce((a,b)=>a+b,0) / counts.length;
const variance = counts.reduce((s,x)=>s+(x-mean)**2,0) / counts.length;
console.log(mean, variance); // обидва мають бути близькі до 4.5

7. Неоднорідні процеси

Реальні швидкості надходження рідко залишаються сталими — трафік пікує в години пік, дзвінки різко зростають після оголошення про збій. Неоднорідний процес Пуассона (НПП) замінює сталу λ функцією швидкості, що змінюється в часі, λ(t). Кількість подій на [0,t] має розподіл Пуассона із середнім, що дорівнює інтегралу швидкості:

Найпростіша техніка симуляції — проріджування (алгоритм Льюїса-Шедлера): симулюємо однорідний процес Пуассона з максимальною швидкістю λ_max, а потім залишаємо кожну кандидатну подію незалежно з імовірністю λ(t)/λ_max. Це зводить неоднорідний випадок до звичайного проріджування Пуассона, яке ми вивели в розділі 4.