Стаття Фізика атмосфери · ≈ 11 хв читання

Рівняння Нав'є-Стокса в атмосфері

Кожен порив вітру, кожен циклон, що обертається, та кожен висхідний потік грози підкоряються тим самим рівнянням, що керують водою у трубі. Розберемо, як рівняння Нав'є-Стокса адаптують, спрощують і дискретизують, щоб описати рух повітря навколо нас.

Коротко: Рух атмосфери описується повними рівняннями Нав'є-Стокса (імпульс, нерозривність, енергія), але розв'язувати їх напряму надто дорого, тож моделі погоди використовують гідростатичне наближення — вертикальний імпульс замінюють простою рівновагою тиску й гравітації. Разом із доданком Коріоліса та замиканням турбулентності це спрощене «примітивне» рівняння і працює всередині моделей на кшталт ECMWF IFS та NOAA GFS.

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

1. Атмосфера як рідина

Повітря навколо нас — стисливий, в'язкий, обертовий флюїд завтовшки приблизно 10 км, що лежить на сфері, яка обертається один раз на 24 години. Попри всю цю складність, воно підкоряється тим самим законам збереження, що й будь-яка ньютонівська рідина: збереження імпульсу (другий закон Ньютона, застосований до частинки рідини), збереження маси (нерозривність) та збереження енергії. Разом вони утворюють рівняння Нав'є-Стокса.

Особливим атмосферний рух робить масштаб. Погодні системи охоплюють діапазон від міліметрових турбулентних вихорів до континентальних струменевих течій, а обертання Землі робить ефект Коріоліса домінантним на синоптичних масштабах (сотні-тисячі кілометрів) — про що ніколи не треба думати, симулюючи воду в чашці.

Гіпотеза суцільного середовища

Повітря складається з окремих молекул, але на масштабах, важливих для метеорології (від міліметрів і вище), воно поводиться як суцільна рідина — те саме припущення, що використовується в CFD для крил літаків. Саме це дозволяє записувати диференціальні рівняння для полів швидкості, тиску й густини замість відстеження окремих молекул.

2. Повна система Нав'є-Стокса

Для стисливої рідини рівняння імпульсу (на одиницю маси) має вигляд:

Рівняння імпульсу ρ (∂u/∂t + u·∇u) = −∇p + ρg + μ∇²u + (μ/3)∇(∇·u)

де u — тривимірний вектор швидкості, ρ — густина повітря, p — тиск, g — прискорення вільного падіння, μ — (молекулярна) динамічна в'язкість. Ліва частина — матеріальна похідна: прискорення, що спостерігається уздовж рухомої частинки повітря, складається з локального (∂u/∂t) та адвективного (u·∇u) доданків.

Разом з імпульсом відстежуємо масу й теплову енергію:

Нерозривність (збереження маси) ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0

Термодинамічна енергія cp (∂T/∂t + u·∇T) = (1/ρ)(∂p/∂t + u·∇p) + Q

Q позначає діабатичне нагрівання: поглинання сонячної радіації, вивільнення прихованого тепла при конденсації, інфрачервоне охолодження. Цей зв'язок між температурою й тиском через рівняння стану ідеального газу p = ρRT робить атмосферу стисливою, термодинамічно активною рідиною, а не простою нестисливою рідиною.

3. Рухома система відліку: Коріоліс і відцентрова сила

Моделі погоди записуються у системі відліку, що обертається разом із Землею — вона неінерційна. Закони Ньютона діють лише в інерційних системах, тож при переписуванні рівняння імпульсу для спостерігача, пов'язаного із Землею, з'являються дві фіктивні «уявні» сили:

Імпульс у рухомій системі відліку ∂u/∂t + u·∇u = −(1/ρ)∇p − 2Ω × u − Ω × (Ω × r) + g + ν∇²u

Доданок −2Ω × u — це прискорення Коріоліса: воно відхиляє повітря, що рухається, праворуч у Північній півкулі та ліворуч — у Південній (тема нашої окремої статті про ефект Коріоліса). Доданок −Ω × (Ω × r) — відцентрове прискорення, яке зазвичай включають в «ефективну гравітацію» g, оскільки воно не змінює напрямок зі швидкістю вітру.

Ω — кутова швидкість Землі, 7.292 × 10⁻⁵ рад/с (один оберт за зоряну добу). Її локальна вертикальна складова, f = 2Ω sin φ (φ — широта), називається параметром Коріоліса й з'являється в усій великомасштабній динаміці.

4. Гідростатична рівновага та примітивні рівняння

Розв'язання повних 3D стисливих рівнянь Нав'є-Стокса для всієї атмосфери вимагало б розв'язання звукових хвиль, що поширюються зі швидкістю ~340 м/с, змушуючи використовувати часові кроки в частку секунди навіть для моделей континентального масштабу. На практиці оперативні прогностичні моделі використовують гідростатичне наближення: вертикальне рівняння імпульсу замінюється простою рівновагою між силою градієнта тиску і гравітацією.

Гідростатична рівновага ∂p/∂z = −ρg

Це відфільтровує вертикально поширювані звукові хвилі, зберігаючи все, що важливе для погоди — баричні системи, фронти, струменеві течії. Разом з нерозривністю й термодинамікою цей спрощений набір називають примітивними рівняннями — основою моделей на кшталт ECMWF IFS та NOAA GFS. Високороздільні моделі, що явно вирішують конвекцію (крок сітки менше ~4 км), натомість розв'язують повні негідростатичні рівняння, оскільки на такому масштабі вертикальні прискорення всередині висхідних потоків гроз уже не є нехтовно малими.

Геострофічний вітер

Далеко від екватора і поза зонами сильної кривизни сила Коріоліса майже врівноважує силу градієнта тиску: fΩv ≈ −(1/ρ)∇p. Результуючий геострофічний вітер дме паралельно ізобарам, а не від високого тиску до низького — тому стрілки вітру на синоптичній карті йдуть уздовж ліній тиску, а не перетинають їх.

5. Замикання турбулентності

Атмосферний потік турбулентний у величезному діапазоні масштабів, і жоден комп'ютер не може розв'язати кожен вихор аж до міліметрового масштабу дисипації. Замість цього моделі розділяють змінні на розв'язувану середню частину та нерозв'язувану флуктуацію, u = ū + u′, і усереднюють рівняння Нав'є-Стокса (усереднення за Рейнольдсом). Це дає рівняння Рейнольдса (RANS) з додатковим незамкненим членом — тензором рейнольдсових напружень:

τij = −ρ⟨u′iu′j⟩

Моделі погоди й клімату параметризують τij за допомогою схем прикордонного шару (K-теорія турбулентної дифузії, замикання TKE) або, для конвекції, окремих схем «параметризації кучових хмар», які статистично представляють підсіткові грози замість явного розв'язання окремих висхідних потоків.

6. Від неперервних рівнянь до сітки

Чисельний прогноз погоди (NWP, детально розглянутий в окремій статті) дискретизує примітивні рівняння на 3D сітці — широта/довгота/тиск, ікосаедрична сітка або, у спектральних моделях, обрізаний ряд сферичних гармонік. Час просувається за допомогою напівнеявних напівлагранжевих схем, що дозволяють часові кроки 10-15 хвилин навіть при роздільності ~10 км, бо найшвидші (звукові та гравітаційні) хвилі трактуються неявно, а адвекція — уздовж зворотних траєкторій.

7. Псевдокод: один часовий крок

Драматично спрощений один часовий крок мілководної гідростатичної атмосферної моделі:

function stepAtmosphere(grid, dt):

  // 1. Сила градієнта тиску з геопотенційної висоти
  computePressureGradient(grid)

  // 2. Прискорення Коріоліса для кожної комірки сітки
  for each cell (i, j):
    f = 2 * OMEGA * sin(grid.lat[i,j])
    a_coriolis.u = f * grid.v[i,j]
    a_coriolis.v = -f * grid.u[i,j]

  // 3. Параметризація підсіткової турбулентності + конвекції
  applyBoundaryLayerMixing(grid)
  applyCumulusScheme(grid)

  // 4. Напівлагранжева адвекція уздовж зворотних траєкторій
  advectSemiLagrangian(grid, dt)

  // 5. Напівнеявний розв'язок для тиску/геопотенціалу
  solveImplicitGravityWaves(grid, dt)

  // 6. Оновлення термодинамічних полів (T, вологість)
  updateThermodynamics(grid, dt)

🌪️ Побачити обертову гідродинаміку в дії

Симуляція Торнадо показує вихор із часток, що підкоряється тому самому рівнянню імпульсу, описаному вище — без доданка Коріоліса, оскільки торнадо занадто малий і короткочасний, щоб обертання Землі мало значення.

Відкрити симуляцію →