Як працює маятник?

Відкриття Галілея

Близько 1582 року Галілео Галілей, за переказами, спостерігав за лампою, що гойдалася в Пізанському соборі, і помітив дещо дивовижне: незалежно від того, широким чи вузьким був розмах, здавалося, що на один повний цикл туди-сюди потрібен той самий час. Він відлічував його за власним пульсом.

Ця властивість — що період не залежить від амплітуди (для малих коливань) — називається ізохронізмом. Саме тому маятники використовували в годинниках упродовж 300 років.

Формула періоду

Для простого маятника з малим кутом розмаху період (час одного повного коливання туди й назад) дорівнює:

Де:

• T — період у секундах
• L — довжина маятника в метрах
• g — прискорення вільного падіння ≈ 9.81 m/s²

Зверніть увагу: маса вантажу у формулі відсутня. Важкий маятник і легкий маятник однакової довжини гойдаються з абсолютно однаковою частотою. Це тому, що гравітація прискорює всі тіла однаково, незалежно від маси.

Щоб отримати півколивання тривалістю 1 секунда (один «тік» на секунду), потрібно: L = g/(4π²) ≈ 0.248 m — приблизно 25 см. Маятник завдовжки 1 метр має повний період близько 2 секунд.

Міф про ізохронізм: широкі розмахи йдуть повільніше

Ізохронізм Галілея правдивий лише приблизно. Формула T = 2π√(L/g) виводиться за допомогою наближення малих кутів sin(θ) ≈ θ, яке добре працює для розмахів менших за приблизно 15-20°. Якщо ж збільшити амплітуду, реальний період стає довшим, ніж передбачає формула, — тому справжній маятниковий годинник відставатиме, якщо дозволити йому гойдатися надто широко.

Точний період описується нескінченним рядом:

де θ₀ — максимальний кут розмаху в радіанах. Підставмо кілька значень, щоб побачити, наскільки насправді малий цей ефект:

• При θ₀ = 10° (0.175 рад) поправковий коефіцієнт становить близько 1.0019 — період лише на 0.19% довший за формулу малих кутів. Практично непомітно.
• При θ₀ = 45° коефіцієнт зростає приблизно до 1.04 — період довший на 4%. Годинник із періодом 2 секунди відставав би майже на хвилину щогодини.
• При θ₀ = 90° коефіцієнт становить близько 1.18 — маятник робить одне коливання майже на п'яту частину довше, ніж підказує «ідеальна» формула.

Саме тому годинники Гюйгенса та пізніші прецизійні маятникові годинники будували з вузьким розмахом усього в кілька градусів: малий θ₀ — це не питання стилю, а те, що робить наближення ізохронізму достатньо точним для надійного відліку часу. Тому ж маятниковий годинник, який штовхнули або перекрутили (і він гойдається ширше, ніж задумано), помітно почне відставати.

Енергія в маятнику

Маятник безперервно перетворює одну форму енергії на іншу:

• Потенціальна енергія тяжіння (ПЕ): у верхній точці кожного розмаху вантаж найвищий і рухається найповільніше. Уся енергія запасена як ПЕ = mgh, де h — висота над найнижчою точкою.
• Кінетична енергія (КЕ): у нижній точці розмаху вантаж найнижчий і рухається найшвидше. Уся енергія перетворилася на КЕ = ½mv².

У ідеальному (без тертя) маятнику це перетворення тривало б нескінченно. На практиці опір повітря й тертя в точці підвісу забирають енергію, тож реальні маятники поступово сповільнюються й зупиняються, якщо їх не підтримує механізм (як-от анкерний хід у годиннику).

Резонанс і розгойдування

Кожен маятник має власну частоту — свій ізохронний період. Якщо штовхати його в такт із власною частотою, амплітуда швидко зростає. Це резонанс.

Саме тому гойдалку розгойдують у потрібний момент: штовхають під час руху вперед і відпускають у верхній точці. Невеликі поштовхи, узгоджені з власною частотою, ефективно додають енергію. Штовхніть у хибний момент — і ви сповільните гойдалку.

Резонанс може бути руйнівним: міст Такома-Нерроуз обвалився у 1940 році, коли вітрові вихори розгойдали коливання на власній частоті мосту.

Як маятником вимірюють g

Оскільки формулу періоду легко переписати як g = 4π²L/T², простий маятник і досі лишається одним із найдоступніших способів виміряти місцеву силу тяжіння, і саме він був стандартним методом понад два століття. Маятник Катера, винайдений британським фізиком Генрі Катером у 1817 році, удосконалив цю ідею до «оборотного» маятника, що міг гойдатися на будь-якій із двох призматичних опор. Пересуваючи ковзний вантаж, доки період не ставав однаковим для обох опор, Катер міг компенсувати більшість джерел похибки й визначити g з точністю кращою за 1 частку на 10 000 — і при цьому взагалі не потрібно було точно вимірювати центр мас маятника, який дуже важко визначити точно в реальному об'єкті.

Маятники типу Катера використовували для картування змін g по всій поверхні Землі упродовж XIX і початку XX століття — адже g не є абсолютно сталою величиною: вона відрізняється приблизно на 0.5% між екватором (де вона слабша, частково через вигин Землі, а частково через відцентровий ефект обертання) і полюсами (де вона найсильніша). Ці гравіметричні зйомки допомагали геологам з'ясовувати форму Землі та знаходити щільні підземні структури, як-от рудні поклади, задовго до того, як супутники зробили гравіметрію рутинною справою.

Спрощену версію цього досліду можна повторити вдома: заміряйте час 20 повних коливань маятника на нитці замість одного, поділіть загальний час на 20, щоб отримати точне T, а потім розв'яжіть g = 4π²L/T². З ниткою завдовжки 1 метр і уважним хронометражем вимір секундоміром може дати результат у межах відсотка-двох від 9.81 m/s² — напрочуд близько для шкільного обладнання, що вимірює величину, для якої колись був потрібен прецизійний оборотний маятник Катера.

Подвійний маятник і хаос

Додайте другий маятник, що висить під першим, — і все змінюється. Подвійний маятник — один із найпростіших прикладів хаотичної динамічної системи.

Два подвійні маятники, запущені з положень, що відрізняються менш ніж на міліметр, уже за кілька секунд поводитимуться абсолютно по-різному. Це називають чутливою залежністю від початкових умов — або ефектом метелика.

Рівняння руху все ще детерміновані (жодної випадковості — той самий початковий стан завжди дає той самий результат). Але рух настільки чутливий, що будь-яка крихітна невизначеність початкового стану призводить до зовсім іншої довгострокової поведінки.

Спробуйте самі

• Симуляція подвійного маятника — Відпустіть до 120 маятників із трохи різними початковими кутами й спостерігайте, як хаос розгортається у сповільненому русі.