Механіка руйнування — коли матеріали ламаються

1. Енергетичний критерій Гріффітса

У 1921 році Алан Гріффітс помітив, що реальні матеріали руйнуються за напружень значно нижчих за їхню теоретичну міцність. Його ідея: тріщина створює концентрацію напружень, але також вивільняє пружну енергію деформації. Тріщина росте, коли вивільнена енергія перевищує енергію, потрібну для створення нових поверхонь руйнування.

Для наскрізної тріщини напівдовжини a в нескінченній пластині під віддаленим напруженням σ швидкість вивільнення енергії деформації:

Поверхнева енергія на одиницю площі — це γ (Дж/м²). Тріщина поширюється, коли G ≥ G_c, де G_c = 2γ — критична швидкість вивільнення енергії:

Цей критерій Гріффітса розкриває ключову ідею: напруження руйнування масштабується як 1/√a. Подвоїте довжину тріщини → руйнування за 71% від початкового напруження.

2. Коефіцієнт інтенсивності напружень K

Енергетичний підхід Гріффітса працює глобально, але нам потрібен локальний опис поля напружень поблизу вершини тріщини. Ірвін (1957) показав, що для будь-якої геометрії тріщини сингулярне поле напружень має вигляд:

де r — відстань від вершини тріщини, θ — кут, а f_ij(θ) — безрозмірні кутові функції. Коефіцієнт інтенсивності напружень K охоплює все, що стосується навантаження та геометрії:

Тут Y — безрозмірний геометричний фактор (Y = 1 для нескінченної пластини, табульований для інших геометрій). Сингулярне поле напружень 1/√r є універсальним — змінюється лише його амплітуда K.

3. Моди розкриття тріщини

Існує три фундаментальні способи розкриття тріщини, кожен зі своїм K:

• Мода I (відрив) — розтягувальне напруження нормально до площини тріщини. Найкритичніша для крихких матеріалів. K_I = σ√(πa).
• Мода II (зсув у площині) — зсув паралельно площині тріщини, перпендикулярно до фронту тріщини. K_II = τ√(πa).
• Мода III (зсув із площини / поперечний зсув) — зсув паралельно фронту тріщини. Поширений у скручених валах.

Реальні тріщини зазвичай змішаної моди. Ефективне K записується як еквівалентне K_eff = √(K_I² + K_II² + K_III²/(1-ν)).

4. Пластична зона Ірвіна

Поле напружень на основі K передбачає нескінченне напруження за r = 0 — фізично неможливе. У пластичних матеріалах плинність обмежує напруження. Ірвін оцінив радіус пластичної зони, поклавши σ_yy = σ_yield:

Для плоскої деформації (товсті зразки) пластична зона менша приблизно у ~3 рази: r_{p,плоска деформація} = r_p/3. Умова чинності LEFM (лінійної пружної механіки руйнування) на основі K полягає в тому, що пластична зона набагато менша за інші розміри — вимоги до розміру зразка визначають стандартні випробування тріщиностійкості.

5. Тріщиностійкість K_Ic

Властивість матеріалу, що чинить опір руйнуванню, — це критичний коефіцієнт інтенсивності напружень K_Ic (тріщиностійкість за плоскої деформації). Тріщина поширюється, коли:

K_Ic має одиниці МПа·√м. Зв'язок із G_c Гріффітса:

6. Втомний ріст тріщини — закон Періса

За циклічного навантаження тріщини ростуть за рівнів напружень значно нижчих за K_Ic. Періс і Ердоган (1963) емпірично виявили, що ріст тріщини за цикл підкоряється степеневому закону:

де ΔK = K_max − K_min = Y · Δσ · √(πa) — діапазон інтенсивності напружень, а C, m — сталі матеріалу (зазвичай m ≈ 2–4 для металів).

Закон Періса дає три режими на графіку log(da/dN) проти log(ΔK):

• Область I (поріг) — ΔK < ΔK_th, тріщина не росте. Важлива для проєктування з нескінченним ресурсом.
• Область II (режим Періса) — лінійна log-log залежність, тріщина росте стабільно. Тут минає більша частина втомного ресурсу.
• Область III (швидке руйнування) — K_max → K_Ic, швидке прискорення до остаточного руйнування.

Інтегрування закону Періса від початкового розміру тріщини a₀ до критичного розміру тріщини a_c = (K_Ic/Yσ)²/π дає кількість циклів до руйнування:

Для m ≠ 2 цей інтеграл має замкнений вигляд:

7. 2D-реалізація

Проста 2D-симуляція руйнування може використовувати модель пружинної ґратки: частинки на сітці, з'єднані пружинами. Кожна пружина рветься, коли її деформація перевищує поріг ε_c = σ_y/E.

// Руйнування пружинної ґратки (2D, canvas)
const N = 64;
const springs = buildLatticeConnections(particles, N);

function update(dt) {
  // Інтегрування Верле
  for (const p of particles) {
    const acc = computeForces(p, springs) / p.mass;
    p.vel.add(acc.scale(dt));
    p.pos.add(p.vel.scale(dt));
  }

  // Рвати пружини, що перевищують поріг деформації
  for (const s of springs) {
    const currentLen = dist(s.a.pos, s.b.pos);
    const strain = (currentLen - s.restLen) / s.restLen;
    if (Math.abs(strain) > STRAIN_THRESHOLD) {
      s.broken = true;
    }
  }
}

function computeForces(p, springs) {
  const f = new Vec2(0, 0);
  for (const s of springs) {
    if (s.broken) continue;
    const other = s.a === p ? s.b : s.a;
    const delta = other.pos.sub(p.pos);
    const len = delta.length();
    const extension = len - s.restLen;
    f.add(delta.normalized().scale(s.stiffness * extension));
  }
  return f;
}

Для фізично точнішого руйнування XFEM (розширений МСЕ) збагачує стандартні форм-функції скінченних елементів розривними функціями на поверхнях тріщин та сингулярними функціями вершини тріщини — уникаючи перебудови сітки в міру росту тріщин.

8. Порівняння матеріалів