Теорема флуктуаційно-дисипаційна

1. Флуктуації та лінійний відгук

У тепловій рівновазі будь-яка мікроскопічна величина флуктуює навколо свого середнього — швидкість частинки, енергія системи, напруга на резисторі. Ці флуктуації — не шум, який треба відфільтрувати; вони несуть глибоку інформацію. Коли ви збурюєте ту саму систему малою зовнішньою силою, її відгук — те, як швидко вона повертається до рівноваги — керується тією ж самою мікроскопічною динамікою, що породжувала спонтанні флуктуації.

2. Броунівський рух і співвідношення Ейнштейна

Найстаріший і найяскравіший приклад: колоїдну частинку, зважену в рідині, штовхають молекулярні зіткнення (флуктуація) і сповільнює в'язке тертя (дисипація). Аналіз Ейнштейна 1905 року з'єднав ці два явища:

Той самий коефіцієнт тертя γ, що гасить спрямований поштовх, задає й розмір випадкового тремтіння — жорсткіше тертя означає одночасно повільніший дрейфовий відгук і менші теплові флуктуації. Не можна мати сильну дисипацію без відповідно сильних флуктуацій при тій самій температурі — вони пов'язані нерозривно.

3. Загальна ТФД (Каллен-Велтон)

Співвідношення Ейнштейна — окремий випадок значно загальнішого результату Каллена та Велтона 1951 року, що пов'язує спектр потужності спонтанних флуктуацій будь-якої спостережуваної величини з уявною (дисипативною) частиною функції лінійного відгуку системи на тій самій частоті:

4. Рівняння Ланжевена та тепловий шум

Рівняння Ланжевена — це ТФД, записана як рівняння руху: детермінована сила тертя плюс випадкова теплова сила, причому обидві мусять мати узгоджені величини:

Цей зв'язок і робить динаміку Ланжевена коректним термостатом для молекулярних симуляцій: збільшення тертя для агресивнішого контролю температури також вимагає пропорційного збільшення випадкових поштовхів, що вводяться, — інакше змодельована температура почне дрейфувати.

5. Електричний шум Джонсона-Найквіста

Кожен резистор при скінченній температурі генерує випадкову напругу холостого ходу на своїх виводах — тепловий шум (Джонсона-Найквіста) — просто тому, що його провідні електрони — ті самі електрони, що відповідають за його резистивний (дисипативний) відгук:

Подвоєння опору подвоює дисипативний відгук і подвоює потужність шуму — саме співвідношення ТФД, і фундаментальний рівень шуму, що обмежує кожен чутливий електронний підсилювач і радіоприймач.

6. Співвідношення Ґріна-Кубо

Співвідношення Ґріна-Кубо поширюють ту саму ідею на макроскопічні коефіцієнти переносу — в'язкість, теплопровідність, електропровідність — виражаючи кожен як інтеграл за часом кореляційної функції рівноважних флуктуацій:

Саме так коди молекулярної динаміки вимірюють макроскопічні властивості матеріалів: запустіть рівноважну симуляцію (без зовнішнього поля, без накладеного градієнта), запишіть автокореляцію мікроскопічного потоку, проінтегруйте її за часом — і отримаєте коефіцієнт переносу, без необхідності справді прикладати зсув чи температурний градієнт.

7. Симуляція на JavaScript

// Інтегратор термостата Ланжевена — форма швидкості, точно дотримується ТФД
function langevinStep(v, m, gamma, kT, dt, randn) {
  // Детерміноване тертя
  const drag = -gamma * v / m;
  // Амплітуда теплового шуму, задана обмеженням флуктуаційно-дисипаційної теореми
  const noiseAmp = Math.sqrt(2 * gamma * kT / dt) / m;
  const noise = noiseAmp * randn();  // randn() = стандартний нормальний зразок
  return v + (drag + noise) * dt;
}

// Перетворення Бокса-Мюллера для стандартного нормального числа
function randn() {
  const u1 = Math.random() || 1e-12, u2 = Math.random();
  return Math.sqrt(-2 * Math.log(u1)) * Math.cos(2 * Math.PI * u2);
}

// Числова перевірка ТФД: виміряне СКЗ має збігатись з D = k_BT/gamma (співвідношення Ейнштейна)
function measureDiffusion(gamma, kT, m, dt, steps) {
  let x = 0, v = 0;
  const xs = [];
  for (let i = 0; i < steps; i++) {
    v = langevinStep(v, m, gamma, kT, dt, randn);
    x += v * dt;
    xs.push(x);
  }
  const msd = xs[xs.length - 1] ** 2;
  const D_measured = msd / (2 * steps * dt);
  const D_theory = kT / gamma;
  return { D_measured, D_theory };  // збігаються при steps → ∞
}

8. Застосування та межі

• Термостати молекулярної динаміки: термостати Ланжевена та Носе-Гувера обидва спираються на ТФД, щоб узгодити введені випадкові сили з тертям при цільовій температурі.
• Електроніка: шум Джонсона-Найквіста задає абсолютний рівень шуму будь-якого підсилювача, обмеженого резистором — жоден вишуканий дизайн схеми не подолає його при заданій температурі й смузі.
• Біофізика одиничних молекул: виміри теплових флуктуацій захопленої кульки в оптичному пінцеті регулярно використовують для калібрування жорсткості самої пастки через рівнорозподіл і флуктуаційно-дисипаційні співвідношення.
• Межі теореми: ТФД у цій простій формі передбачає лінійний відгук поблизу рівноваги; системи, виведені далеко з рівноваги (активна матерія, скла нижче температури склування), можуть її порушувати, що саме по собі є активною темою досліджень.
• Кліматологія: флуктуаційно-дисипаційний підхід використовують, щоб оцінити, як відгук кліматичної системи на форсинг (дисипація) пов'язаний з її природною внутрішньою мінливістю (флуктуаціями).