Броунівський рух у клітині — флуктуаційна дисипація на клітинному масштабі

1. Чому клітина — це інший фізичний режим

Теорема флуктуаційної дисипації стверджує в загальному вигляді, що будь-яка система в тепловій рівновазі демонструє випадкові флуктуації, статистика яких жорстко пов'язана з тим самим коефіцієнтом тертя, що гасить її відгук на силу — саму теорему, її виведення через рівняння Ланжевена та формалізм Гріна-Кубо докладно розглянуто саме там, і ми їх тут не повторюємо. Що змінюється всередині клітини — це не теорема, а числа, які в неї підставляють: ефективна в'язкість, розмір частинки, що дифундує, і — критично важливо — саме припущення, що середовище взагалі поводиться як проста ньютонівська рідина.

На масштабі бактерії (1-2 мкм) чи ссавцевої клітини (10-30 мкм) інерція не має значення. Число Рейнольдса для білка, що рухається з дифузійною швидкістю, має порядок 10⁻⁶ — в'язкі сили переважають над інерційними на шість порядків. Бактерія, що плаває і перестає працювати джгутиками, зупиняється за частку наносекунди; жодного "накату" за інерцією не відбувається. Це "життя за малих чисел Рейнольдса" Перселла, і воно означає, що кожне переміщення всередині клітини визначається балансом теплових поштовхів і тертя — саме тим балансом флуктуаційної дисипації, лише обчисленим у надзвичайно тісному середовищі.

2. Співвідношення Стокса-Ейнштейна на мікронному масштабі

Для сферичної частинки радіуса r у рідині в'язкістю η коефіцієнт дифузії дорівнює:

Об'ємна в'язкість цитоплазми приблизно в 1.5-4 рази вища за воду для малих розчинених речовин, але ефективна в'язкість, яку відчуває частинка, різко зростає з її розміром, бо великі об'єкти відчувають повну сітку цитоскелета й молекулярний натовп, а не лише розчинник. Орієнтовні порядки величин для еукаріотичної клітини за 37°C:

Корисне правило з рівняння Ейнштейна у 3D, ⟨r²⟩ = 6Dt: типовий розчинний білок перетинає клітину діаметром 10 мкм за вільної дифузії менш ніж за секунду, тож клітині рідко потрібен активний транспорт для сигналізації малими молекулами — але він абсолютно необхідний для будь-чого більшого, як пояснює §5.

3. Молекулярна тіснота (crowding)

Цитоплазма — не розведений розчин білків, а середовище, на 20-30% об'єму зайняте білками, рибосомами, РНК і філаментами цитоскелета — порівнянне з насиченим білковим кристалом. Ця молекулярна тіснота має два окремі ефекти, які наївний розрахунок за Стоксом-Ейнштейном повністю пропускає:

• Термодинаміка виключеного об'єму: тісні агенти не зв'язуються з молекулою, яку ми відстежуємо, але виключають її з об'єму, який самі займають, що підвищує ефективну концентрацію та швидкість реакції всього іншого — інколи це називають "колоїдним осмотичним тиском" цитоплазми.
• Перешкоджання руху: частинка, що дифундує, змушена обходити щільну, тимчасову сітку перешкод, що уповільнює дифузію на великих відстанях набагато сильніше, ніж на малих.

Наслідком є коефіцієнт дифузії, що залежить від масштабу довжини й часу спостереження — D(t), а не одна стала D — і це безпосередня причина аномального масштабування, яке розглядається далі.

4. Аномальна суб-дифузія везикул

Для звичайного (фікового) броунівського руху середньоквадратичне зміщення (MSD) зростає лінійно з часом: ⟨Δx²(t)⟩ = 2dDt (d — число вимірів). Одночастинкове відстеження везикул, гранул мРНК та великих білкових комплексів у живих клітинах натомість показує:

Це аномальна суб-дифузія. Зазвичай наводять три механізми, що перекриваються:

Суб-дифузія не є порушенням теореми флуктуаційної дисипації — вона відображає ядро пам'яті в терті ("узагальнене рівняння Ланжевена" з часово-корельованим шумом), а не миттєве, безпам'ятне тертя, яке передбачає проста картина Стокса-Ейнштейна.

5. Активний транспорт проти пасивного тремтіння

Пасивна дифузія везикули розміром 500 нм крізь клітину діаметром 20 мкм, за D ≈ 0.01-0.1 мкм²/с, зайняла б від десятків хвилин до багатьох годин — занадто повільно для клітинної логістики. Саме тому еукаріотичні клітини виробили транспорт, керований моторними білками: кінезин і динеїн "крокують" з вантажем уздовж мікротрубочок зі швидкістю 0.5-2 мкм/с — спрямовано й балістично, а не випадково, долаючи ту саму відстань за секунди чи хвилини. Дані одночастинкового відстеження зазвичай показують, що везикули чергують дифузійні пробіги (α < 1, як у §4) із швидкими, спрямованими пробігами, керованими моторами (ефективно α ≈ 2, балістично) — ознака, яку експериментально використовують, щоб відрізнити вільний вантаж від вантажу, задіяного мотором.

6. JavaScript: симуляція Ланжевена для тісної цитоплазми

Найпростіший спосіб відтворити суб-дифузію чисельно — дробовий чи "перешкоджений" інтегратор Ланжевена: звичайний передемпфований крок Ланжевена, але з локальним коефіцієнтом дифузії, що змінюється в часі й вибирається з просторової карти перешкод, імітуючи тісну сітку з §3.

class CrowdedCytoplasmWalker {
  constructor(D0 = 0.05, gridSize = 64, obstacleFraction = 0.28) {
    this.D0 = D0;             // коефіцієнт дифузії у вільному просторі, мкм²/с
    this.x = 0; this.y = 0;
    this.dt = 0.001;        // с
    this.grid = buildObstacleGrid(gridSize, obstacleFraction);
  }

  // локальна дифузійність різко падає поблизу перешкод (тіснота)
  _localD(x, y) {
    const occ = occupancyNear(this.grid, x, y);
    return this.D0 * Math.max(0.02, 1 - occ);
  }

  step() {
    const D = this._localD(this.x, this.y);
    const sigma = Math.sqrt(2 * D * this.dt);
    this.x += sigma * gaussianRandom();
    this.y += sigma * gaussianRandom();
    return { x: this.x, y: this.y };
  }
}

// Запустити 10 000 кроків і апроксимувати MSD(t) ~ t^alpha, щоб отримати показник суб-дифузії
const walker = new CrowdedCytoplasmWalker();
const trace  = [];
for (let i = 0; i < 10000; i++) trace.push(walker.step());
// логарифмічна регресія ⟨Δx(t)²⟩ проти t зазвичай повертає alpha ≈ 0.6-0.8
// для obstacleFraction = 0.28, що відповідає виміряним трекам везикул

Апроксимація отриманої кривої MSD у логарифмічних координатах дає показник α менше 1, відтворюючи якісну ознаку аномальної дифузії, що вимірюється експериментально — без потреби в повній моделі молекулярної динаміки тісної цитоплазми. Про те, чому гаусові випадкові прирости з дисперсією 2Dt відтворюють тепловий шум узагалі, див. статтю Броунівський рух та рівняння Ланжевена.