Цикл Карно та межі теплових двигунів

1. Теплові двигуни та другий закон

Тепловий двигун поглинає теплоту Q_h з гарячого резервуара за температури T_h, перетворює частину її на роботу W, а решту Q_c скидає до холодного резервуара за T_c. Збереження енергії дає:

Теорема Карно стверджує, що усі оборотні двигуни, що працюють між тими самими двома температурами, мають однаковий ККД, а будь-який необоротний двигун має строго нижчий ККД.

2. Чотири оборотні процеси

Адіабатичні кроки взаємно скорочуються за роботою (W₂₃ + W₄₁ = 0), тож чиста робота циклу дорівнює різниці двох ізотермічних робіт.

3. PV-діаграма та робота

На діаграмі тиск-об'єм охоплена площа дорівнює чистій виконаній роботі за цикл:

4. ККД Карно

Поєднуючи Q_h та Q_c, логарифм скорочується, залишаючи напрочуд чистий результат:

Цей результат глибокий: ККД залежить лише від відношення T_c/T_h. Ідеальний двигун за кімнатної температури й температури тіла (T_h=310 К, T_c=293 К) має максимальний ККД лише 5.5%.

5. Ентропія та TS-діаграма

Ентропія S визначається через оборотний теплообмін: dS = δQ_rev / T. Цикл Карно — це прямокутник на діаграмі температура-ентропія:

6. Реальні двигуни: Отто, Дизель, Стірлінг

Реальні термодинамічні цикли наближаються до ідеалу Карно різними способами:

7. Симуляція на JavaScript

// Симуляція циклу Карно — ідеальний газ, n молів
const R = 8.314; // Дж/(моль·К)

function carnotCycle(n, Th, Tc, V1, gamma = 1.4) {
  // Адіабатичне обмеження: V2/V1 = (Th/Tc)^(1/(γ-1))
  const adRatio = Math.pow(Th / Tc, 1 / (gamma - 1));
  const V2 = V1 * adRatio;
  // Ізотермічне розширення дає V3 = V2*(Tc/Th)^(1/(γ-1)) ... спрощено:
  const V4 = V1;          // адіабатичне стискання повертає до V1
  const V3 = V2 * adRatio; // симетрична адіабата

  const Qh = n * R * Th * Math.log(V2 / V1);
  const Qc = n * R * Tc * Math.log(V3 / V4);
  const W  = Qh - Qc;
  const eta = 1 - Tc / Th;

  return { Qh, Qc, W, eta, V1, V2, V3, V4, Th, Tc };
}

// Генеруємо точки PV-кривої для побудови графіка
function pvCurve(type, V_start, V_end, T_or_K, n, gamma, steps = 60) {
  const pts = [];
  for (let i = 0; i <= steps; i++) {
    const V = V_start + (V_end - V_start) * i / steps;
    let P;
    if (type === 'isothermal') {
      P = n * R * T_or_K / V;
    } else { // адіабата: PVᵞ = K
      P = T_or_K / Math.pow(V, gamma);
    }
    pts.push({V, P});
  }
  return pts;
}

// Малюємо PV-діаграму на canvas
function drawPV(ctx, cycle, W, H) {
  const {Qh, Qc, Th, Tc, V1, V2, V3, V4} = cycle;
  const n = 1, gamma = 1.4;
  const P1 = n * R * Th / V1;
  const K_ad12 = P1 * Math.pow(V1, gamma); // адіабатична стала 2→3

  const allV = [V1,V2,V3,V4], allP = [P1];
  allP.push(n*R*Th/V2, n*R*Tc/V3, n*R*Tc/V4);
  const vMin = Math.min(...allV), vMax = Math.max(...allV);
  const pMin = Math.min(...allP) * 0.8, pMax = Math.max(...allP) * 1.2;

  const toX = v => 60 + (v-vMin)/(vMax-vMin) * (W-80);
  const toY = p => H-50 - (p-pMin)/(pMax-pMin) * (H-80);

  ctx.clearRect(0, 0, W, H);
  ctx.strokeStyle = '#f97316'; ctx.lineWidth = 2;
  ctx.beginPath();
  const segments = [
    pvCurve('isothermal', V1, V2, Th, n, gamma),
    pvCurve('adiabatic', V2, V3, K_ad12, n, gamma),
    pvCurve('isothermal', V3, V4, Tc, n, gamma),
    pvCurve('adiabatic', V4, V1, K_ad12*0.5, n, gamma)
  ];
  let first = true;
  for (const seg of segments) {
    for (const {V, P} of seg) {
      first ? ctx.moveTo(toX(V), toY(P)) : ctx.lineTo(toX(V), toY(P));
      first = false;
    }
  }
  ctx.closePath();
  ctx.fillStyle = '#f9731620'; ctx.fill(); ctx.stroke();
}

// Приклад використання
const cycle = carnotCycle(1, 600, 300, 0.001);
console.log(`η = ${(cycle.eta*100).toFixed(1)}%`); // η = 50.0%

8. Застосування та межі

• Електростанції: сучасні газові турбіни комбінованого циклу (T_h ≈ 1500 К, T_c ≈ 300 К) досягають теоретичного η_max ≈ 80%, але на практиці забезпечують ~60% завдяки двоступеневому перетворенню.
• Теплові насоси та холодильники: цикл Карно, запущений у зворотному напрямку, — це холодильник (COP = T_c/(T_h−T_c)) або тепловий насос (COP = T_h/(T_h−T_c)).
• Ендооборотні двигуни: ККД Курзона-Альборна (η_CA = 1 − √(T_c/T_h)) дає реалістичні прогнози для двигунів, оптимізованих на максимальну потужність, а не на ККД.
• Межі другого закону: жоден процес не може зменшити повну ентропію — ККД Карно є незводимою верхньою межею, встановленою цим законом.
• Термоелектричні пристрої: кулери Пельтьє та генератори Зеєбека наближаються до Карно лише за малих різниць температур; типовий ККД становить 5–10%.