🦅 Ймовірність — політ Леві та стійкі розподіли
Більшість випадкових процесів, які викладають на вступних курсах, спираються на розподіли з чітко визначеними середнім та дисперсією: гаусів, пуассонів, біноміальний. Але велика родина реальних явищ підпорядковується розподілам, у яких дисперсія — а іноді й саме середнє — нескінченна. Нова симуляція Політ Леві дає вам змогу дослідити це власноруч.
Важкі хвости та α-стійкі розподіли
Розподіл називають важкохвостовим, якщо його хвіст спадає за степеневим законом: P(X > x) ~ x−α. При α ≤ 2 дисперсія нескінченна; при α ≤ 1 нескінченним є і середнє. Такі розподіли називають α-стійкими (або стійкими за Леві), і вони є єдиними розподілами, замкненими відносно додавання — границя сум незалежних однаково розподілених важкохвостових величин завжди є стійким розподілом (узагальнена центральна гранична теорема).
- α = 2: гаусів розподіл. Діє центральна гранична теорема. Випадкове блукання є броунівським.
- α = 1.5: розподіл Леві. Дисперсія нескінченна. Трапляються поодинокі дуже довгі стрибки.
- α = 1.2: дуже важкий хвіст. Надзвичайно рідкісні стрибки домінують у сумарному зміщенні.
- α → 1: границя розподілу Коші. Середнє не визначене; характерного масштабу не існує.
Алгоритм Мантеньї
Генерування вибірок зі стійкого розподілу — нетривіальна задача: замкненої формули оберненої функції розподілу не існує. Алгоритм Мантеньї (1994) дає ефективне наближення, поєднуючи два стандартні нормальні відліки з поправковим коефіцієнтом, що виводиться з індексу стійкості α. Симуляція реалізує це в реальному часі для до 8 одночасних мандрівників.
Застосування статистики Леві
Політ Леві та статистика степеневих кроків трапляються на всіх масштабах: у пошукових патернах тварин, що добувають їжу (альбатроси, акули, бджоли), у дифузії в турбулентній плазмі, у посекундних рухах цін акцій, у мобільності людини за даними мобільних телефонів, у послідовностях зміщень при землетрусах та у розподілах вільного пробігу фотонів у зоряних атмосферах.
Споріднені симуляції в категорії ймовірності включають Центральну граничну теорему, Броунівський рух, та Випадкове блукання.
🦅 Відкрити «Політ Леві» →🌿 Генеративне мистецтво — дифузійно-обмежена агрегація
Дифузійно-обмежена агрегація — це алгоритм 1981 року, розроблений Віттеном і Сандером, який породжує візуально вражаючі фрактальні кластери з напрочуд простих правил. Розмістіть зерно; випускайте частинки по одній, щоб вони блукали випадковим чином, доки не прилипнуть. Після тисяч частинок результатом стає розгалужена, деревоподібна структура, яка суперечить інтуїтивним очікуванням від такої простої динаміки.
Від простих правил до фрактальної геометрії
Ключове спостереження полягає в тому, що кінчики зростаючого кластера з більшою ймовірністю захоплюють нові випадкові блукаючі частинки, ніж заглиблені затоки. Ця нестійкість розгалуження кінчиків підсилює будь-яку початкову асиметрію: щойно одна гілка стає трохи довшою, вона захоплює більше частинок і росте ще довшою. Результат — самоподібне розгалуження на кожному масштабі, що є визначальною властивістю фрактала.
Фрактальна розмірність D_f ≈ 1.71 означає, що DLA-кластери пройшли 71% шляху від лінії (розмірність 1) до заповненого диска (розмірність 2). Це значення підтверджено масштабними чисельними експериментами й відрізняється від дифузії зі скінченною ймовірністю прилипання (DLA зі зниженим шумом), яка наближається до D_f = 2 при наближенні ймовірності прилипання до нуля.
Режими кольору
Симуляція пропонує чотири способи візуалізувати історію та структуру кластера:
- Вік: найраніше приліплені частинки найгарячіші (червоні), нещодавні частинки найхолодніші (сині), що розкриває історію росту шар за шаром.
- Відстань: радіус від початку координат відображається на відтінок, підкреслюючи кругову симетрію та довжини гілок.
- Тепло: локальна густина частинок модулює колір, показуючи різницю в щільності упаковки між кінчиками гілок і стовбурами.
- Моно: суцільна однокольорова заливка, корисна для друку або для перегляду чистої геометрії без відволікання на колір.
Чому DLA важлива не лише для мистецтва
DLA є моделлю для електроосадження (формування дендритів в акумуляторах), патернів діелектричного пробою (фігур Ліхтенберга), в'язкового пальцеутворення в пористих середовищах, формування мінеральних дендритів у гірських тріщинах та морфології росту коралів. Один і той самий механізм нестійкості розгалуження породжує подібну фрактальну геометрію в цих зовсім різних фізичних системах.
Споріднені симуляції в категорії генеративного мистецтва включають Папороть Барнслі, Множину Мандельброта, та Гру в хаос.
🌿 Відкрити DLA-фрактал →🌊 Гідродинаміка — рівняння мілкої води
Рівняння мілкої води (SWE) — також відомі як рівняння Сен-Венана на честь Адемара Жана-Клода Барре де Сен-Венана, який вивів їх 1871 року — є фундаментальною моделлю в геофізичній гідродинаміці. Вони описують усереднений за глибиною горизонтальний потік у водоймах, де глибина набагато менша за горизонтальний масштаб.
Де застосовуються рівняння мілкої води
Рівняння SWE керують: цунамі (довжина хвилі яких 100–200 км значно перевищує глибину океану); штормовими нагонами та прибережними затопленнями; поширенням припливів в естуаріях; хвилями повені після прориву греблі; потоками в іригаційних каналах і річках; а також атмосферною динамікою на синоптичних масштабах. Припущення (усереднення за глибиною, гідростатичний тиск) не виконуються лише тоді, коли вертикальна швидкість значна — хвилі, що обрушуються, турбулентні боре та ближньопольові прориви гребель потребують повних тривимірних рівнянь Нав'є-Стокса.
Схема Лакса-Фрідріхса
Рівняння SWE утворюють нелінійну гіперболічну систему ДРЧП, яка може розвивати ударні хвилі (боре, гідравлічні стрибки). Скінченно- різницева схема Лакса-Фрідріхса природно справляється з ними завдяки вбудованій чисельній в'язкості, яка згладжує розрив на одну-дві клітинки сітки. Компроміс полягає в точності першого порядку за простором і легкому надмірному згладжуванні різких фронтів — прийнятно для освітніх цілей і значно простіше в реалізації, ніж схеми високої роздільної здатності на кшталт MUSCL-Hancock чи HLLE.
Чотири пояснені сценарії
- Прорив греблі: задача Рімана. У момент t = 0 прибирається бар'єр між двома водяними стовпами різної висоти. Точний аналітичний розв'язок складається з хвилі розрідження, що поширюється ліворуч (неперервна), та боре, що поширюється праворуч (ударна хвиля). Симуляція якісно відповідає цьому й збігається до точного розв'язку при збільшенні роздільної здатності сітки.
- Хлюпання: початковий косинусоїдальний профіль глибини в закритому резервуарі створює стоячі хвильові коливання. Основний період T ≈ 2L / √(g·h̄) залежить від середньої глибини. Хвиля повільно затухає через тертя Меннінга та чисельну в'язкість.
- Приплив: синусоїдальний приплив на лівій межі породжує прогресивну хвилю, що входить у нерухому воду. При докритичних числах Фруда хвиля поширюється праворуч зі швидкістю c = √(gh). Частота і період видно на панелі швидкості.
- Гідравлічний перепад: високошвидкісний приплив у лівій третині області з підвищенням рельєфу дна перевіряє здатність схеми обробляти джерельні члени нахилу дна та перехід між докритичним і надкритичним потоком.
Число Фруда
Число Фруда Fr = |u| / √(gh) відіграє в потоках мілкої води ту саму роль, що й число Маха в стисливій аеродинаміці. Fr < 1 — докритичний (спокійний потік); Fr > 1 — надкритичний (стрімкий потік). Перехід між ними — гідравлічний стрибок — різке зростання глибини і зменшення швидкості, що розсіює кінетичну енергію у вигляді турбулентності. Панель швидкості позначає поріг Fr = 1 пунктирною лінією.
Споріднені симуляції в категорії гідродинаміки включають Ефект Бернуллі, Конвекцію Бенара, та Прикордонний шар.
🌊 Відкрити рівняння мілкої води →Дослідіть більше симуляцій
Перегляньте всі симуляції в кожній категорії, збагаченій хвилею 57: