Навчання #26 – Гідродинаміка та турбулентність: Нав'є-Стокс, розклад Рейнольдса, пограничні шари та каскад Колмогорова

Рівняння Нав'є-Стокса були записані у 1820–1840-х роках і описують всю класичну механіку рідин. Мільйонна премія тисячоліття Математичного інституту Клея чекає того, хто доведе (чи спростує), що гладкі розв'язки завжди існують для тривимірної нестисливої течії. Однак турбулентність — яка вимагає саме таких розв'язків — уже зрозуміла достатньо добре, щоб проєктувати літаки, підводні човни та газові турбіни. Саме ця продуктивна напруга між математичною незавершеністю та інженерним успіхом і робить гідродинаміку такою захопливою.

1. Рівняння Нав'є-Стокса

Рівняння Нав'є-Стокса виражають другий закон Ньютона для елемента рідини: швидкість зміни імпульсу дорівнює сумі градієнтів тиску, в'язких напружень і об'ємних сил. Для нестисливої ньютонівської рідини (стала густина ρ, динамічна в'язкість μ) вони набувають компактної векторної форми:

Continuity (incompressibility):
  ∇ · u = 0    (ρ = const)

Momentum:
  ρ(∂u/∂t + (u·∇)u) = −∇p + μ∇²u + ρg
  ┌┐               ┌┐        ┌┐      ┌┐         ┌┐
  inertia       advection   pressure viscous   body force

Dimensionless form (scale by U, L):
  ∂u*/∂t* + (u*·∇*)u* = −∇*p* + (1/Re)∇*²u*

Reynolds number Re = ρUL/μ = UL/ν    (ν = μ/ρ = kinematic viscosity)
  Re << 1: viscous forces dominate → laminar, creeping flow (Stokes flow)
  Re ~ 100: laminar with steady recirculation (cylinder wake)
  Re ~ 10^3: periodic vortex shedding (Kármán street, St = fD/U ≈ 0.2)
  Re > 10^4: transitional;
  Re > 10^5: fully turbulent

Bernoulli equation (inviscid, along streamline):
  p + ½ρu² + ρgz = const   (energy per volume)
  Origin: ∇(½u²) = (u·∇)u + u×(∇×u)

Нелінійний адвективний доданок (u·∇)u є джерелом майже всієї складності в механіці рідин. Він переносить кінетичну енергію між масштабами таким чином, що лінійний в'язкий доданок не може цього скасувати, породжуючи вихори, сліди й зрештою турбулентність. При малих числах Рейнольдса цей доданок незначний порівняно з в'язкістю, і течії гладкі та передбачувані. При великих числах Рейнольдса в'язкість може розсіювати лише найдрібніші масштаби; великомасштабні рухи практично невʼязкі, і їхня енергія має пройти через дедалі менші вихори, перш ніж перетворитися на тепло.

2. Теорія пограничного шару

Коли рідина обтікає тверду поверхню, умова прилипання вимагає, щоб швидкість рідини на поверхні збігалася зі швидкістю стінки. Швидкий перехід від нуля (на стінці) до швидкості вільного потоку U відбувається в межах тонкого пограничного шару, вперше проаналізованого Людвігом Прандтлем у 1904 році. Це прозріння відкрило практичну аеродинаміку: за межами тонкого пограничного шару течія приблизно невʼязка; всередині нього домінують в'язкі ефекти.

Blasius laminar boundary layer (flat plate, zero pressure gradient):
  δ(x) / x = 5.0 / √Re_x       (99% thickness)
  δ*(x) / x = 1.72 / √Re_x      (displacement thickness: missing mass flux)
  C_f(x) = 0.664 / √Re_x            (local skin friction coefficient)

Transition to turbulence (flat plate):
  Re_x,crit ≈ 5×10^5 (freestream turbulence level ~0.1%)
  Higher freestream turbulence or adverse pressure gradient → earlier transition

Turbulent boundary layer (power-law profile):
  u/U ≈ (y/δ)^{1/7}    (1/7 power law, Re > 10^5)
  C_f = 0.0592 Re_x^{-1/5}

Law of the wall (inner layer):
  u^+ = y^+                    (viscous sublayer, y^+ < 5)
  u^+ = (1/κ) ln(y^+) + B   (log-law region, 30 < y^+ < 200)
  y^+ = y u_τ / ν,   u_τ = √(τ_w/ρ) (friction velocity)
  κ ≈ 0.41 (von Kármán constant),  B ≈ 5.0

Boundary layer separation:
  Occurs when pressure gradient dP/dx > 0 (adverse pressure gradient)
  Near-wall fluid decelerates to zero; reversal → separation bubble → wake
  Separation control: suction, vortex generators, turbulators (golf ball dimples)

3. Гідродинамічні нестійкості

Ламінарна течія є нестійкою, якщо малі збурення з часом зростають, а не загасають. Лінійний аналіз стійкості визначає, чи є задана базова течія стійкою, вносячи мале збурення й з'ясовуючи, чи допускають лінеаризовані рівняння зростаючі розв'язки. Дві нестійкості особливо важливі для переходу до турбулентності та динаміки шарів змішування: Кельвіна-Гельмгольца та Релея-Тейлора.

Kelvin-Helmholtz instability (shear across interface):
  Two inviscid fluids with velocities U_1, U_2 and densities ρ_1, ρ_2 meeting at y=0
  Growth rate for wavenumber k:
    σ^2 = −gk(ρ_1−ρ_2)/(ρ_1+ρ_2) + k²ρ_1ρ_2(U_1−U_2)²/(ρ_1+ρ_2)²
  Pure shear (same density): always unstable for any k > 0
  Stabilised by gravity & density stratification (Richardson number Ri = N²/S²)
  Ri < 1/4 (Miles-Howard criterion): shear overcomes stratification → KH rolls

Rayleigh-Taylor instability (heavy fluid over light):
  Heavy fluid (ρ_2) resting on lighter fluid (ρ_1) in gravitational field g
  Growth rate: σ = √[Atkg]    (A = Atwood number = (ρ_2−ρ_1)/(ρ_2+ρ_1))
  All wavelengths unstable, but short waves grow faster; surface tension stabilises k > k_c
  Nonlinear: mushroom-shaped plumes of heavy fluid penetrating downward (spikes) and light fluid rising (bubbles)
  Applications: supernova ejecta, inertial confinement fusion capsule implosion, ocean mixing

Rayleigh-Bénard convection (buoyancy-driven):
  Fluid layer heated from below, cooled above
  Rayleigh number: Ra = gβΔT L³ / (να)  (β = thermal expansion, α = diffusivity)
  Onset (conduction → convection rolls): Ra_c = 1708  (Chandrasekhar 1961)
  Ra > 10^4: oscillatory; Ra > 10^6: turbulent plumes
  Nusselt number Nu = h L / λ ~ Ra^{1/3} (turbulent regime)

4. Розклад Рейнольдса та RANS

Повністю розвинені турбулентні течії містять вихори в надзвичайно широкому діапазоні масштабів. Пряме моделювання кожного просторового та часового масштабу (пряма чисельна симуляція, DNS) вимагає кількості вузлів сітки, пропорційної Re^{9/4} — для турбіни реактивного двигуна при Re ~ 10^7 це приблизно 10^{15 } точок, що далеко за межами сучасної обчислювальної потужності. Натомість інженерні моделі розкладають швидкість на середню та флуктуаційну частини: це розклад Рейнольдса.

Reynolds decomposition:
  u_i(x,t) = U_i(x) + u_i'(x,t)
  <u_i> = U_i  (time average),  <u_i'> = 0

Reynolds-averaged momentum equation:
  ρ U_j ∂U_i/∂x_j = −∂P/∂x_i + ∂/∂x_j [μ∂U_i/∂x_j − ρ<u_i'u_j'>]
                                                └──────────────────────└
                                                Reynolds stress tensor τ^R_ij

Closure problem:
  τ^R_ij has 6 independent unknowns per point → more unknowns than equations
  Boussinesq hypothesis: τ^R_ij = −2ν_t S_ij  (ν_t = turbulent eddy viscosity)
  Analogy with molecular viscosity; fails in strongly anisotropic flows

k-ε model (Launder & Spalding, 1974 — most widely used RANS model):
  Transport equation for turbulent kinetic energy: k = ½<u_i'u_i'>
  Transport equation for dissipation rate: ε = ν<∂u_i'/∂x_j ∂u_i'/∂x_j>
  Eddy viscosity: ν_t = C_μ k² / ε  (C_μ = 0.09)
  Free-stream turbulence length scale: L_t = k^{3/2}/ε

k-ω SST model (Menter 1994 — standard for aerodynamics):
  Blends k-ω near wall (accurate in sublayer) with k-ε in freestream
  Better prediction of adverse-pressure-gradient separation, airfoil stall
  Used in ANSYS Fluent, OpenFOAM, SU2

5. Теорія Колмогорова про енергетичний каскад

У 1941 році Андрій Колмогоров сформулював статистичну теорію повністю розвиненої турбулентності, яка й досі залишається основою цієї галузі попри свою простоту. Центральна ідея — каскад енергії Річардсона: енергія вводиться на великих масштабах (інтегральний масштаб L), передається до дедалі дрібніших вихорів без суттєвої дисипації, і зрештою розсіюється у вигляді тепла на в'язкому масштабі Колмогорова η. У проміжному інерційному піддіапазоні статистика флуктуацій швидкості є універсальною.

Kolmogorov microscales (only depend on ν and ε):
  Length: η = (ν³/ε)^{1/4}
  Time:   τ_η = (ν/ε)^{1/2}
  Velocity: u_η = (νε)^{1/4}

Scale separation:
  L / η ~ Re^{3/4}       (integral scale to Kolmogorov scale)
  For atmospheric boundary layer (Re ~ 10^8): L/η ~ 10^6

First similarity hypothesis (local isotropy for small scales):
  At scales r << L, statistics of velocity increments are universal
  (determined only by ν and ε)

Second similarity hypothesis (inertial subrange, η << r << L):
  Statistics depend only on ε (viscosity irrelevant)
  Structure function: S_2(r) = <|u(x+r) − u(x)|²> = C_2 (εr)^{2/3}
  C_2 ≈ 2.0 (Kolmogorov constant)

Energy spectrum (Kolmogorov −5/3 law):
  E(k) = C_K ε^{2/3} k^{−5/3}   (inertial subrange)
  C_K ≈ 1.5 (Kolmogorov spectral constant)
  First verified experimentally by Grant et al. (1962) in tidal channel

Intermittency corrections (K62, Obukhov 1962):
  Real turbulence is spatially intermittent; dissipation is fractal
  Scaling exponent: ζ_p = p/3 − μp(p−3)/18   (μ ≈ 0.25)
  Multifractal formalism (Parisi & Frisch 1985)

DNS capabilities (2024):
  Maximum DNS Re_λ ~ 2000 (Taylor-scale Reynolds number)
  Grid: 12 288³ ≈ 2×10^12 points  (runs on top-10 supercomputers)
  Goal: Re_λ ≈ 10^4 (comparable to atmospheric surface layer) within ~15 yr

6. Моделювання великих вихорів та застосування

Між грубою силою точності DNS і швидкістю RANS розташоване моделювання великих вихорів (LES): прямий розрахунок вихорів, більших за розмір сітки, з моделюванням лише підсіткових ефектів. LES вловлює нестаціонарне змішування, когерентні структури та аероакустику, які RANS повністю пропускає, за частку вартості DNS. Сучасна промислова CFD дедалі частіше використовує гібридні методи RANS-LES, такі як Detached Eddy Simulation (DES) і Scale-Adaptive Simulation (SAS).

Grid filter (bar denotes filtered quantity):
  ū(x) = ∫ G(x − x') u(x') dx'    (G = box or Gaussian filter, width Δ)
  ū contains scales > Δ;  subgrid stress τ_ij^sgs = ​u_i u_j – ū_i ū_j

Smagorinsky model (1963):
  τ_ij^sgs = −2(C_s Δ)² |S̄| S̄_ij
  C_s ≈ 0.1–0.18 (universal for isotropic turbulence; must be reduced near walls)

Dynamic Smagorinsky (Germano 1991):
  C_s computed locally from ratio of test-filter to grid-filter stresses
  Removes need for manual tuning; handles transition automatically

Wall-modelled LES (WMLES):
  Model near-wall region with RANS or algebraic law-of-wall → coarser grid near surface
  N_grid ~ Re^{13/7} (WMLES) vs Re^{37/14} (wall-resolved LES) vs Re^{9/4} (DNS)
  WMLES of full aircraft at Re ~ 10^8 feasible with ~10^9 points

Applications:
  Combustion:     LES resolves turbulent flame brushing, premixed swirl burners
  Wind energy:    LES of atmospheric boundary layer + turbine wakes (SOWFA, AMR-Wind)
  Aeroacoustics:  pressure fluctuations from LES + FW-H equation → far-field noise
  Climate:        ocean mesoscale eddies (~30 km) now resolved in CMIP7 hi-res models

Пов'язані симуляції