Хвиля 29: ряди Тейлора, нейрон Ходжкіна–Хакслі та модель Ізінга

Статистика платформи

Хвиля 29 одним поглядом

Візуалізатор рядів Тейлора

Ряд Тейлора розкладає будь-яку гладку функцію в нескінченний поліном з центром у точці a:

f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a) · (x − a)ⁿ / n!

Візуалізатор підтримує вісім функцій і дозволяє переміщати центр розкладу a будь-де на осі — не лише в початку координат Маклорена. Кожен доданий член підсвічується на графіку та перелічується під канвою, що дає змогу легко побачити, наскільки швидко (чи повільно) часткова сума збігається до справжньої кривої.

• Основна панель — справжня функція (біла) і часткова сума (блакитна) накладені одна на одну; проміжок між ними заповнюється, щоб показати миттєву похибку.
• Панель похибки — перемикний підграфік |f(x) − P_N(x)| у логарифмічному масштабі, що одразу робить видимою розбіжність на межі області збіжності.
• Список членів — прокручуваний список поточних коефіцієнтів з підсвіченим членом найвищого порядку в момент додавання.
• Радіус збіжності — відображається для кожної функції (наприклад, R = 1 для ln(1+x) та arctan, R = ∞ для sin/cos/exp).

Керування: вибір функції, центр розкладу a (−3 до 3), кількість членів N (1–20), масштаб діапазону x, перемикач панелі похибки, кнопка анімації (автоматично збільшує N від 1).

Нейрон Ходжкіна–Хакслі

Модель Ходжкіна–Хакслі (1952, Нобелівська премія 1963) описує іонний механізм потенціалу дії в гігантському аксоні кальмара. Мембранний потенціал V підпорядковується ОДР:

C_m dV/dt = I_ext − g_Na m³h(V − E_Na) − g_K n⁴(V − E_K) − g_L(V − E_L)

зі змінними воріт m, h (активація/інактивація натрію) та n (активація калію), кожна з яких підпорядковується кінетиці першого порядку dx/dt = α_x(V)(1−x) − β_x(V)x.

Симуляція використовує оригінальні параметри аксона кальмара з роботи Ходжкіна й Хакслі 1952 року (C_m = 1 μF/cm², g_Na = 120, g_K = 36, g_L = 0.3 mS/cm²) та інтегрує повну систему ОДР методом Ейлера з dt = 0.01 мс. Канва малює V(t) синім кольором плюс три сліди змінних воріт (m червоний, h жовтий, n зелений) та фіолетовий стовпчик I_ext. Інформаційна панель показує кількість імпульсів, пікову напругу та частоту генерації.

• Пресети — одиночний імпульс, повторювана генерація, підпорогова стимуляція, короткий імпульс, високочастотний вибух.
• Повзунки — I_ext (0–20 μA/cm²), початок і тривалість імпульсу, вікно симуляції (10–200 мс).
• Режим анімації — повторно запускає симуляцію в режимі прокрутки в реальному часі при 60 кадрах/с, щоб можна було спостерігати наростання серії імпульсів.

Модель Ізінга — фазові переходи

2D модель Ізінга — найпростіша система, що зазнає неперервного фазового переходу. Спіни s_i = ±1 на квадратній решітці взаємодіють через зв'язок найближчих сусідів; гамільтоніан має вигляд:

H = −J Σ_⟨i,j⟩ s_i s_j − H Σ_i s_i

Алгоритм Метрополіса–Гастінгса вибирає розподіл Больцмана: випадковий переворот спіна приймається безумовно, якщо ΔE ≤ 0, або з імовірністю e^−ΔE/k_BT в іншому випадку. Нижче точної 2D критичної температури k_BT_c = 2J/ln(1+√2) ≈ 2.269J з'являється спонтанна намагніченість і зростають великі феромагнітні домени. Вище T_c теплові флуктуації повністю розупорядковують решітку.

Канва кодує кольором кожен спін (теплий червоний = вгору, холодний синій = вниз) і рендерить у повній роздільності через ImageData, забезпечуючи плавну анімацію в реальному часі навіть при N = 80 (6400 спінів). Живий графік історії намагніченості відстежує |⟨m⟩| з часом. Керування дає доступ до T/T_c, зовнішнього поля H, константи зв'язку J, розміру решітки N та початкових умов (випадкові, всі вгору, всі вниз).

Інженерні нотатки

Ряди Тейлора: аналітичне обчислення n-ї похідної + регуляризація за правилом Лопіталя

Обчислення коефіцієнта Тейлора c_n = f⁽ⁿ⁾(a)/n! вимагає точної n-ї похідної в центрі розкладу. Для sin, cos, sinh, cosh похідні циклічно повторюються з періодом 4 або 2 відповідно, тож достатньо простого диспетчера за модулем. Для ln(1+x) шаблон має вигляд c_n = (−1)ⁿ⁺¹(n−1)!/(1+a)ⁿ. Для 1/(1−x) замкнута форма — n!/(1−a)ⁿ⁺¹. Для arctan, вищі похідні якого не мають чистої замкнутої форми, реалізація переходить на центрований скінченно-різницевий шаблон порядку n. Факторіали кешуються до n = 170 (межа переповнення подвійної точності). Функції швидкості α_m та α_n у Ходжкіна–Хакслі застосовують той самий шаблон правила Лопіталя: коли |V + 40| < 10⁻⁵ (відп. |V + 55|), граничне значення 1.0 (відп. 0.1) повертається напряму, щоб уникнути невизначеності 0/0 через скорочення.

Ходжкін–Хакслі: повне обчислення, а потім рендер для анімації без артефактів

Замість покрокового розв'язання ОДР усередині циклу анімації (що ризикує тремтінням частоти кадрів, яке спричиняє видимий чисельний шум), симуляція виконує повне інтегрування методом Ейлера синхронно в основному потоці щоразу, коли змінюється повзунок, зберігаючи повні масиви V(t), m(t), h(t), n(t). Цикл requestAnimationFrame потім просто прокручує вікно по попередньо обчислених масивах і перемальовує видимий сегмент, гарантуючи, що форма хвилі залишається незмінною незалежно від частоти кадрів дисплея. Вікно 200 мс при dt = 0.01 мс — це 20 000 точок — достатньо швидко для обчислення за <2 мс на будь-якому сучасному пристрої.

Модель Ізінга: випадковий доступ Метрополіса проти шахового обходу

Канонічна підручникова реалізація використовує шаховий (червоно-чорний) обхід, щоб уникнути конфліктів доступу до даних у паралельних реалізаціях, але це вносить тонку кореляцію: «чорна» підрешітка відчуває вплив усіх оновлених червоних спінів одночасно, створюючи невеликий систематичний зсув поблизу T_c. Натомість симуляція використовує Метрополіс із випадковим доступом: кожен підкрок обирає рівномірно випадковий індекс спіна, обчислює ΔE від чотирьох сусідів з періодичними граничними умовами та застосовує критерій прийняття. Один прохід складається з N² таких пропозицій одиночного перевороту, тож кожен прохід статистично еквівалентний одному кроку Монте-Карло на спін (MCS). Int8Array компактно зберігає спіни (±1 в 1 байті кожен), а ImageData рендерить решітку одним викликом putImageData на кадр.

Що далі — анонс Хвилі 30

Заплановані теми для Хвилі 30:

• Конструктор рядів Фур'є — розкладання квадратної, пилкоподібної, трикутної хвиль на гармоніки; інтерактивне додавання/видалення членів; явище Гіббса на розривах
• Гравітаційне лінзування — відхилення світла за Шварцшильдом, радіус кільця Ейнштейна, лінзи з точковою та розподіленою масою, ретро-лінзовані зображення джерела
• Фронт епідемії (SIR-PDE) — реакційно-дифузійна модель SIR на 2D сітці, швидкість просторового поширення, кривизна фронту хвилі, неоднорідність популяції

Усі симуляції Хвилі 30 вийдуть з EN + UK сторінками в день запуску.